第一章 课堂题

课堂题 1

答案：C、D

• A 错
  因为$a^{j\omega }=e^{j\omega \ln a}=\cos (\omega \ln a)+j\sin (\omega \ln a)$不是 $a\cos \omega +ja\sin \omega$。
• B 错
  $a^{j\omega }$不会等于 $\omega \cos a-j\omega \sin a$。
  正确形式仍是 $a^{j\omega }=\cos (\omega \ln a)+j\sin (\omega \ln a)$
• C 对
  由欧拉公式 $$e^{j\omega }=\cos \omega +j\sin \omega ,e^{-j\omega }=\cos \omega -j\sin \omega$$ 两式相加得 $\cos \omega =\frac{1}{2}\left(e^{j\omega }+e^{-j\omega }\right)$
• D 对
  因为 n 是整数， $e^{j(\omega +2\pi )n}=e^{j\omega n}{e}^{j2\pi n}$ 而 $e^{j2\pi n}=1$ 所以 $e^{j(\omega +2\pi )n}=e^{j\omega n}=\cos (\omega n)+j\sin (\omega n)$

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课堂题 2

答案：B、D

• A 错
  该信号只在 $-\pi <t<\pi$ 内非零，是时限信号，总能量有限，因此平均功率 $$P_{\infty }=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|x(t){|}^{2}dt=0$$ 不是 $0<P_{\infty }<\infty$。
• B 对
  总能量 $$E_{\infty }={\int }_{-\infty }^{\infty }|x(t){|}^{2}dt={\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^2(2t)dt$$ 利用 $${\cos }^2(2t)=\frac{1+\cos 4t}{2}$$ 得 $$E_{\infty }={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1+\cos 4t}{2}dt=\pi$$ 因此 $0<E_{\infty }<\infty$。
• C 错
  虽然 $\cos 2t$ 本身周期为 $\pi$，但本题中的信号在区间外被截成了 0，所以整个 $x(t)$ 不是周期延拓后的信号，不以 $\pi$ 为周期。
• D 对
  它只在一个有限区间内非零，区间外恒为 0，不会无限重复，因此是非周期信号。

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课堂题 3

答案：A、D

• A 对
  对离散时间复指数信号 $$x[n]=e^{j{\omega }_{0}n}$$ 有 $$e^{j({\omega }_0+2\pi k)n}=e^{j{\omega }_{0}n}$$ 所以频率每隔 $2\pi$ 重复一次，只需研究任意一个长度为 $2\pi$ 的区间，这就是”有效频率范围只有 $2\pi$ 区间”的含义。
• B 错
  不是任意 ${\omega }_0$ 都使该信号成为周期信号，只有满足周期条件时才是周期信号。
• C 错
  正确条件不是 ${\omega }_0$ 为有理数，而是 $$\frac{{\omega }_0}{2\pi }$$ 为有理数。
• D 对
  由周期条件 $${\omega }_{0}N=2\pi m(m\in \mathbb{Z},N\in {\mathbb{Z}}^{+})$$ 可得 $$\frac{2\pi }{{\omega }_0}=\frac{N}{m}$$ 因此当 ${\omega }_0\ne 0$ 时，$\frac{2\pi }{{\omega }_0}$ 为有理数也是该信号为周期信号的充要条件。更常用的写法仍是 $$\frac{{\omega }_0}{2\pi }=\frac{m}{N}$$

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课堂题 4（习题1.24）

判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其基波周期：

（1）$x[n]=\sin \left(\frac{8\pi n}{7}+4\right)$
（2）$x[n]=\sin \left(\frac{2\pi n}{7}\right)$
（3）$x[n]=e^{j\frac{1}{2}n}$
（4）$x[n]=e^{j\frac{8\pi }{7}n}$

答案：（1）周期，$N=7$；（2）周期，$N=7$；（3）非周期；（4）周期，$N=7$

解析：

对于离散时间正弦/复指数信号，判断周期性的条件是：$\frac{{\omega }_0}{2\pi }$ 必须为有理数。

（1）$x[n]=\sin \left(\frac{8\pi n}{7}+4\right)$

• ${\omega }_0=\frac{8\pi }{7}$，$\frac{{\omega }_0}{2\pi }=\frac{4}{7}$
• 有理数 → 周期信号
• 令 $\frac{8\pi }{7}N=2\pi m$，得 $4N=7m$，最小正整数解为 $N=7$（$m=4$）
• 基波周期 $N_0=7$

（2）$x[n]=\sin \left(\frac{2\pi n}{7}\right)$

• ${\omega }_0=\frac{2\pi }{7}$，$\frac{{\omega }_0}{2\pi }=\frac{1}{7}$
• 有理数 → 周期信号
• 令 $\frac{2\pi }{7}N=2\pi m$，得 $N=7m$，最小正整数解为 $N=7$（$m=1$）
• 基波周期 $N_0=7$

（3）$x[n]=e^{j\frac{1}{2}n}$

• ${\omega }_0=\frac{1}{2}$，$\frac{{\omega }_0}{2\pi }=\frac{1}{4\pi }$
• 不是有理数 → 非周期信号

（4）$x[n]=e^{j\frac{8\pi }{7}n}$

• ${\omega }_0=\frac{8\pi }{7}$，$\frac{{\omega }_0}{2\pi }=\frac{4}{7}$
• 有理数 → 周期信号
• 与（1）相同，基波周期 $N_0=7$

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课堂题 5（习题1.25）

已知信号 $x(t)=e^{j(\pi t-1)}$，求其基波周期。

答案：$T_0=2$

解析：

要满足周期性条件：

$$x(t+T)=e^{j[\pi (t+T)-1]}=e^{j(\pi t-1)}{e}^{j\pi T}=x(t)$$

即 $e^{j\pi T}=1$。

根据 $e^{j2\pi k}=1$（$k$ 为整数），有：

$$\pi T=2\pi k\Rightarrow T=2k$$

基波周期 $T_0=2$（$k=1$ 时取得）。

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课堂题 6（习题1.26）

已知信号 $x[n]=\cos \left(\frac{8\pi n}{7}+4\right)$，求其基波周期。

答案：$N_0=7$

解析：

对于离散时间余弦信号，可转化为复指数形式分析：

$$\cos \theta =\frac{e^{j\theta }+e^{-j\theta }}{2}$$

因此 ${\omega }_0=\frac{8\pi }{7}$。

周期性条件：

$$\frac{{\omega }_0}{2\pi }=\frac{4}{7}$$

为有理数，故为周期信号。

令 $\frac{8\pi }{7}N=2\pi m$，得 $4N=7m$，最小正整数解为 $N=7$（$m=4$）。

基波周期 $N_0=7$。

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习题1.26

• 只用看${\omega }_0$即可
• 转为三角函数之和再判断基波周期，基波周期是所有三角函数的公倍数
• 如果无法化简，考虑$x[n+N]=x[n]$，比如此处c题

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习题1.25

把 $(\pi t-1)$ 看作整体 $\theta$： $e^{j(\pi t-1)}=\cos (\pi t-1)+j\sin (\pi t-1)$ 周期性分析： 要满足 $e^{j(\pi (t+T)-1)}=e^{j(\pi t-1)}$，即： $e^{j\pi T}=1$ 根据 $e^{j2\pi k}=1$（k 为整数），有： $\pi T=2\pi k\Rightarrow T=2k$ 基波周期 $T_0=2$（k=1 时取得）

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习题1.21

• 信号乘上$u(t)$后，会仅保留$t>0$的部分

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习题 1.27

系统各个性质的判断：

• 确定时不变系统的方法 即看先经系统再时移和先时移再经系统的结果是否相同
• 时变系统的特征：
  • 系数是t或k的函数
  • 存在尺度变换或反转变换