第二章

课堂题1

• 答案：CD

• 解析：

  已知系统为

  $y[n]=2x[n]+3$

  逐项判断如下。

  1. 不是线性系统

     线性系统必须满足零输入零输出。令 $x[n]=0$，则

     $y[n]=3\ne 0$

     因此该系统不满足齐次性，故不是线性系统，所以 A、B 错误。

  2. 是时不变系统

     若输入延时为 $x[n-n_0]$，则输出变为

     $y_1[n]=2x[n-n_0]+3$

     而原输出 $y[n]=2x[n]+3$ 延时 $n_0$ 后为

     $y[n-n_0]=2x[n-n_0]+3$

     二者相同，因此系统满足时不变性。

  3. 是增量线性系统

     对输入增量 $\Delta x[n]$，输出增量为

     $\Delta y[n]=2\Delta x[n]$

     增量关系是线性的，因此它是增量线性系统。

  综上，正确选项为 C、D。

---

课堂题2

• 答案：AC

• 解析：

  已知系统是离散时间线性时不变系统，且

  $x[n]\to y[n]$

  由时不变性可得：

  $x[n-l_k]\to y[n-l_k]$

  同理，

  $x[n+l_k]\to y[n+l_k]$

  再由线性性可得，若输入为若干信号的线性组合，则输出为对应输出的同样线性组合，因此：

  ${\sum }_{k=1}^m{a}_{k}x[n-l_k]\to {\sum }_{k=1}^m{a}_{k}y[n-l_k]$

  以及

  ${\sum }_{k=1}^m{a}_{k}x[n+l_k]\to {\sum }_{k=1}^m{a}_{k}y[n+l_k]$

  所以 A、C 正确。

  B、D 说“输出不定”是错误的，因为对 LTI 系统，这类时移并加权后的输入，其输出可以由时不变性 + 线性性唯一确定。

  因此正确选项为 A、C。

---

课堂题3

• 答案：ABD

• 解析：

  逐项分析如下。

  1. A 正确

     对于线性时不变系统，只要知道其对单位脉冲 $\delta [n]$ 或单位冲激 $\delta (t)$ 的响应，也就是知道单位脉冲响应 $h[n]$ 或单位冲激响应 $h(t)$，就可以通过卷积和或卷积积分求出其对任意输入的响应。因此 A 正确。

  2. B 正确

     LTI 系统的输入输出关系总可以写为

     $y[n]=x[n]\ast h[n]$

     或

     $y(t)=x(t)\ast h(t)$

     因此“系统对输入信号的响应总是可以表示为卷积形式”是正确的。

  3. C 错误

     等式

     $x(t)=x(t)\ast \delta (t)$

     说明的是 $\delta (t)$ 在卷积运算中起单位元作用，也就是说它对应的是恒等系统。这并不能反映一般连续时间 LTI 系统的响应过程。一般情况应写为

     $y(t)=x(t)\ast h(t)$

     因此 C 错误。

  4. D 正确

     若某离散时间 LTI 系统的单位脉冲响应为

     $h[n]=u[n]$

     则输出为

     $y[n]=x[n]\ast u[n]={\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }x[k]u[n-k]$

     由于当 $k\le n$ 时 $u[n-k]=1$，当 $k>n$ 时 $u[n-k]=0$，故

     $y[n]={\sum }_{k=-\infty }^{n}x[k]$

     这正是离散时间累加器的表达式，所以 D 正确。

  综上，正确选项为 A、B、D。

---

作业题2.22（c）

求其卷积

可以将函数与冲积函数相乘来实现分段效果: $y(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<1\\ 2{\int }_0^{t-1}\sin (\pi \tau )d\tau ,& t\ge 1\end{array}$ 和 $y(t)=2\left[{\int }_0^{t-1}\sin (\pi \tau )d\tau \right]u(t-1)$ 是等价的

---

作业题2.47（d）、（f）

• 只有卷积核和输入信号同时反转，输出信号才会反转，这里$x(t)=x_0(-t),h(t)=h_0(t)$无法判断输出，但$x(t)=x_0(-t),h(t)=h_0(-t)$能够判断，输出信号是反转的
• 卷积积分满足微分、积分、时移特性：若$x(t)\ast h(t)=y(t)$，则$x^{(m)}(t)\ast h^{(n)}(t)=y^{(m+n)}(t)$

---

作业题2.28

• 系统是因果的等价于当前输入只依赖现在或过去的输入，在LTI中，用冲激相应h[n]来判断，其必要条件为：$h[n]=0当n<0$
• 稳定性：有界输入→有界输出
• 判断因果性，即看n<0时有没有不为0的
• 判断稳定性，看绝对值求和是否收敛

---

作业题2.33