第一章

信号

• 信号是承载信息的函数
• 一个或几个自变量的函数（一维信号如声音，二维信号如图像）本课程只研究单一自变量的信号
• 分为连续时间信号和离散时间信号，对连续时间信号采样得到离散时间信号，课程中连续信号使用”$t$、$(\cdot )$“相关符号，离散信号使用”$n$、$[\cdot ]$“相关符号
• 信号分为确知信号与随机信号，本课程只研究确知信号

信号的能量和功率

• 连续时间信号$x(t)$在$[t_1,t_2]$区间的能量与功率 $$E={\int }_{t_1}^{t_2}|x(t){|}^{2}dt$$

$P=\frac{1}{t_2-t_1}{\int }_{t_1}^{t_2}|x(t){|}^{2}dt$

• 离散的能量与功率

  $$E=\sum _{n=n_1}^{n_2}|x[n]{|}^2$$

  $P=\frac{1}{n_2-n_1+1}{\sum }_{n=n_1}^{n_2}|x[n]{|}^2$

• 各自的无限区间上的信号总能量、信号平均功率：

  $$E={\int }_{-\infty }^{\infty }|x(t){|}^{2}dt,E=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2$$ $$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|x(t){|}^{2}dt,P=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^N|x[n]{|}^2$$

• 直观理解：$|x{|}^2$ 可以看成“每一时刻/每个样本贡献了多少能量”

  • 总能量：把所有贡献全部累加起来，所以连续时间用积分，离散时间用求和
  • 平均功率：不是把$|x{|}^2$再平方，而是“单位时间/单位样本上的平均能量”

• 连续和离散的核心思想完全一样，只是“累计方式”不同：

  • 连续时间：时间轴连续，所以用积分
  • 离散时间：只有一个个样本点，所以用求和
  • 连续时间平均功率除以区间长度$t_2-t_1$，离散时间平均功率除以样本数$n_2-n_1+1$（比如从1到3的平均，显然有三个数3-1+1而不是3-1）

• 判断时可以这样想：

  • 信号只在有限区间内非零，往往是能量信号，常见结果是$0<E_{\infty }<\infty ,P_{\infty }=0$
  • 周期信号通常反复出现，总能量会无限累加，因此往往是功率信号，常见结果是$E_{\infty }=\infty ,0<P_{\infty }<\infty$
  • 若信号既不衰减又不“稳定重复”，两者都可能发散，例如$x(t)=t$

• 常见例子：

  • $x(t)=\{\begin{array}{ll}\cos 2t,& -\pi <t<\pi \\ 0,& \text{其他}\end{array}$：有限时长非零，所以是能量信号，$E_{\infty }=\pi ,P_{\infty }=0$
  • $x(t)=\cos {\omega }_{0}t$：周期信号，所以$E_{\infty }=\infty$，而$P_{\infty }=\frac{1}{2}$
  • $x[n]=\delta [n]$：只有一个样本非零，所以$E_{\infty }=1,P_{\infty }=0$
  • $x[n]=e^{j{\omega }_{0}n}$：每个样本模都为1，能量无限，但平均功率为1

• 一个很有用的记忆：

  • 能量看“总共积了多少”
  • 功率看“平均下来每单位时间/每个样本有多少”
  • 有限能量信号一定有零平均功率，但零平均功率不一定说明总能量有限

三类重要信号

1. 能量信号——信号总能量有限，平均功率为0
2. 功率信号——信号平均功率有限，总能量无限
3. 信号的总能量和平均功率都无限

周期信号

• 离散时间信号的周期性定义：若存在正整数$N$，使得对所有$n$都有$x[n]=x[n+N]$，则$x[n]$是周期信号
• 基波周期$N_0$：满足周期条件的最小正整数周期；若不存在这样的正整数，则信号为非周期信号
• 判定离散时间复指数/正弦是否周期： $$x[n]=e^{j{\omega }_{0}n}\text{或}x[n]=A\cos ({\omega }_{0}n+\varphi )$$ 仅当${\omega }_0/(2\pi )$为有理数时才是周期信号，即 $$\frac{{\omega }_0}{2\pi }=\frac{m}{N},m\in \mathbb{Z},N\in {\mathbb{Z}}^{+}$$
• 确定基波周期的方法：把${\omega }_0/(2\pi )$约成最简分数$m/N$（$m,N$互素），则基波周期$N_0=N$
• 对应教材位置：1.2.2 周期信号、1.3.3 离散时间复指数序列的周期性质

自变量变换

• 位移变换：左加右减
• 反转变换：镜像
• 尺度变换：$x(t)\to x(at)$，$a>1$时压缩$a$倍，离散时间信号通常不考虑尺度变换（信号会失真） 例子：由$x(t)\to x(3t-\frac{1}{2})$ 可写成$x(3(t-\frac{1}{6}))$，因此可以理解为先时移$\frac{1}{6}$（右移），再压缩3倍。 等价做法是先压缩3倍得到$x(3t)$，再右移$\frac{1}{2}$得到$x(3t-\frac{1}{2})$。注意在图形上操作时，尺度变换会改变平移量。

奇信号与偶信号

• 奇函数和偶函数
• 偶部：信号中关于原点对称的部分，满足$x_e(-t)=x_e(t)$（离散情形为$x_e[-n]=x_e[n]$）
• 奇部：信号中关于原点反对称的部分，满足$x_o(-t)=-x_o(t)$（离散情形为$x_o[-n]=-x_o[n]$）
• 任何一个信号都可以唯一分解为“偶部 + 奇部”： $$x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2},x_o(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}$$ $$x_e[n]=\frac{x[n]+x[-n]}{2},x_o[n]=\frac{x[n]-x[-n]}{2}$$
• 重构关系：$x(t)=x_e(t)+x_o(t)$，$x[n]=x_e[n]+x_o[n]$
• 对奇信号有$x(0)=0$（离散情形为$x[0]=0$）
• 对应教材定义：1.2.3 偶信号与奇信号

熟悉复数

• 信号与系统中与复数相关的知识点：
  • 复数表示：$z=a+jb$，模长$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$，相位$\angle z=\arctan (b/a)$
  • 共轭：$z^{\ast }=a-jb$，$z{z}^{\ast }=|z{|}^2$
  • 极坐标形式：$z=|z|e^{j\angle z}$
• 欧拉公式：$e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$，用于描述复指数信号
• $e^{i{\omega }_{0}t}=1$ 的条件是${\omega }_{0}t=2k\pi$，即 t 必须是 $2k\pi /{\omega }_0$
• $|e^{i{\omega }_{0}t}|=1$ 的条件是始终成立，无论${\omega }_{0}t$的取值如何。

复指数信号

连续时间复指数信号周期频率

$x(t)=C{e}^{at}$，c，a为复数，$a=j{\omega }_0$，则由$e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$，有 $e^{j{\omega }_{0}t}=e^{j{\omega }_0(t+T)}=e^{j{\omega }_{0}t}\times e^{j{\omega }_{0}T}$ 则 $e^{j{\omega }_{0}T}=1$ 而 $e^{j2\pi k}=1$ 因此 ${\omega }_{0}T=k\cdot 2\pi$ 则 $T=k\cdot \frac{2\pi }{|{\omega }_0|}$ $k=1$时则可以得到基波周期 $\text{基波周期}{T}_0=\frac{2\pi }{|{\omega }_0|}\text{基波频率}{\omega }_0$

离散时间复指数信号周期频率

$x[n]=e^{j{\omega }_{0}n}$，要确定其周期相关的公式，有 $x[n+N]=x[n]$ 即 $e^{j{\omega }_0(n+N)}=e^{j{\omega }_{0}n}\cdot e^{j{\omega }_{0}N}=e^{j{\omega }_{0}n}$ 所以 $e^{j{\omega }_{0}N}=1$ 即 ${\omega }_{0}N=2\pi m$ 于是有 $\frac{2\pi }{{\omega }_0}=\frac{N}{m}$ 则 $\text{基波周期}N=\frac{2\pi }{{\omega }_0}m\text{基波频率}\omega =\frac{2\pi }{N}=\frac{{\omega }_0}{m}$

离散情况下是周期的前提是**$\frac{N}{m}$为有理数**

正弦信号

连续时间频率与离散时间频率的直观区别

• 对连续时间复指数信号 $$x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$$ 当 ${\omega }_0$ 增大时，单位时间内转过的相位更多，因此振荡越来越快；不同的 ${\omega }_0$ 对应不同的信号，不会出现“频率加大了却变回原来信号”的情况。
• 对离散时间复指数信号 $$x[n]=e^{j{\omega }_{0}n}$$ 自变量 $n$ 只能取整数，所以我们只是在整数时刻观察这个复指数。此时若频率增加 $2\pi k$，就有 $$e^{j({\omega }_0+2\pi k)n}=e^{j{\omega }_{0}n}{e}^{j2\pi kn}=e^{j{\omega }_{0}n}$$ 这是因为对任意整数 $n,k$，都有 $e^{j2\pi kn}=1$。
• 这说明离散时间频率不是像连续时间那样“无限不重复”地增长，而是每隔 $2\pi$ 就重复一次。因此只需要研究任意一个长度为 $2\pi$ 的区间即可，例如 $$[0,2\pi )\text{或}[-\pi ,\pi )$$ 这就是“离散时间信号的有效频率范围只有一个 $2\pi$ 区间”的含义。
• 为什么说 $\omega =2\pi k$ 对应最低频率？因为 $$x[n]=e^{j2\pi kn}=1$$ 序列根本不振荡，是常数序列，所以频率最低。
• 为什么说 $\omega =2\pi k+\pi$ 对应最高频率？因为 $$x[n]=e^{j(2\pi k+\pi )n}=e^{j\pi n}=(-1{)}^n$$ 相邻样本就在 $1,-1,1,-1$ 之间来回跳变，已经是离散时间下“相邻点变化最快”的情况，所以可视为最高频率。
• 如果把频率区间取成 $[0,2\pi )$，那么频率从 0 增大到 $\pi$ 时，振荡越来越快；再从 $\pi$ 增大到 $2\pi$ 时，虽然数值还在增大，但对应的离散序列反而等价于负频率部分，表现为“绕回来”。例如 $$e^{j\frac{3\pi }{2}n}=e^{-j\frac{\pi }{2}n}$$ 所以离散时间里不能只看 $\omega$ 数值大小，还要把它放到模 $2\pi$ 的意义下理解。
• 一个常用记忆：
  • 连续时间频率：增大就是更快，没有 $2\pi$ 周期重复
  • 离散时间频率：对 $\omega$ 按模 $2\pi$ 来看，同一个序列会重复出现
  • 在离散时间中，0 附近是低频，$\pi$ 附近是高频
• 成谐波关系的复数信号集（连续） ${𝜑}_k(t)=e^{jk{𝜔}_{0}t},k=0,\pm 1,\pm 2\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ 每个信号都是周期的，都是${𝜔}_0$的整数倍，因此称成谐波关系，k=0直流分量、正负1为基波分量，正负2为二次谐波分量
• 成谐波关系的复数信号集（离散） ${𝜑}_k(t)=e^{j\frac{2\pi }{N}kn}=e^{j\frac{{\omega }_0}{m}kn},k=0,\pm 1,\pm 2\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ 因为$N=m\cdot \frac{2\pi }{{\omega }_0}$

单位冲激函数

• 连续情况下，单位冲激函数大小为正无穷，宽度为1，因此积分后面积为1，（可视为一个面积始终为1的矩形，当其宽度趋于零时的极限）

• 筛选性质（抽样特性） ${\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)\delta (t-t_0)dt=x(t_0)$ 变式 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t_0-t)\delta (t)dt=x(t_0-0)=x(t_0)$ 不考虑积分项 $x(t)\delta (t-t_0)=x(t_0)\delta (t-t_0)$ 冲激函数可以”筛选”出信号在$t_0$时刻的值，比如 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)\delta (t-t_0)dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-3t-1}\delta (t-0)dt=x(0)=e^{-1}$

• 与单位阶跃函数的关系 ${\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )d\tau =u(t),\frac{du(t)}{dt}=\delta (t)$ 即阶跃函数是冲激函数的积分，冲激函数是阶跃函数的导数

• 冲激函数的尺度变换 $\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$

• 冲激偶（冲激函数的导数） $\frac{d\delta (t)}{dt}={\delta }^{\prime }(t)$ 冲激偶的性质： ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }^{\prime }(t)dt=0$ ${\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t){\delta }^{\prime }(t-t_0)dt=-x^{\prime }(t_0)$

冲激函数与信号变换

• 对信号$f(t)$求导时，若$f(t)$有跳变点，则导数在跳变点处为冲激函数
• 跳变幅度为$\Delta f=f(t^{+})-f(t^{-})$，冲激强度等于跳变幅度

系统

• 系统是能够处理输入信号并产生输出信号的结构

记忆/无记忆系统

• 系统的输出只与当前时刻的输入有关，与该时刻以外的输入无关，则该系统为无记忆系统，否则为记忆系统，特例是恒等系统
• 记忆系统例子：$y(t)=x(t-1)$

可逆性与逆系统

• $y(t)=\frac{1}{2}x(t)$，可逆，其逆系统为$x(t)=2y(t)$，但实际上习惯y在右边，因此是$y(t)=2x(t)$
• $y[n]=x[2n]$，下采样丢失了奇数索引的信息，无法从y[n]恢复出完整的x[n]，因此不可逆

因果性

• 任何时刻的输出只与当前时刻此前的输入有关，而与此后的输入无关，则称因果，否则非因果
• $y(t)=x(2t)$为非因果，比如$t=1$时，$t=1$时刻的数据来源于$t=2$，是其之后的数据

稳定性

• $y(t)=tx(t)$ 非稳定，考虑有界输入x(t)=1，输出y(t)=t无界，不满足BIBO稳定

时不变性

• 当输入信号有一个时移时，系统的输出响应也产生相同时移，此外无其它变化，则称该系统是时不变的，否则就是时变的。
• 直观理解：系统的特性不随时间改变——早上做和晚上做得到同样的结果

线性

• 对任意𝑥1(𝑡) → 𝑦1(𝑡)，𝑥2(𝑡) → 𝑦2(𝑡) ，总有𝑎𝑥1(𝑡) + 𝑏𝑥2(𝑡) → 𝑎𝑦1(𝑡) + 𝑏𝑦2(𝑡)，其中𝑎与𝑏是任意常数。离散时间线性系统可类似定义。
• 如果系统是线性的，把输入信号分解为若干个简单信号的线性组合，且知道该系统对每一个简单信号的响应，就可以很方便地通过线性组合得到系统对原输入信号的响应