第三章

第三章 周期信号的傅里叶级数表示

3.1 本章主线

这一章的核心问题只有一条：

• 能不能把周期信号分解成一组“LTI 系统特别容易处理”的基本信号？

答案是可以，所选的基本信号就是复指数信号。这样做有两个直接好处：

• 周期信号可以写成复指数的线性组合
• LTI 系统对每个复指数分量的响应都非常简单

所以第三章本质上是在建立一种新的分析方式：

• 时域里看波形
• 频域里看各个谐波分量及其权重

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3.2 LTI 系统对复指数信号的响应

特征函数

• 如果系统对某个输入信号的响应，只是把这个信号乘上一个常数，那么这个输入就是该系统的特征函数
• 这个常数叫做对应的特征值

对任意 LTI 系统，复指数都是特征函数。

连续时间

若输入为

$$x(t)=e^{st}$$

则输出为

$$y(t)=H(s)e^{st}$$

其中

$$H(s)={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(\tau )e^{-s\tau }d\tau$$

这说明：

• 输入波形仍是原来的复指数
• 系统只改变它的幅度和相位

离散时间

若输入为

$$x[n]=z^n$$

则输出为

$$y[n]=H(z)z^n$$

其中

$$H(z)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }h[k]z^{-k}$$

这一性质为什么重要

若一个信号能写成复指数和：

$$x(t)=\sum _k{a}_k{e}^{s_{k}t}$$

则输出立刻写成

$$y(t)=\sum _k{a}_{k}H(s_k)e^{s_{k}t}$$

离散时间同理：

$$x[n]=\sum _k{a}_k{z}_k^n⟹y[n]=\sum _k{a}_{k}H(z_k)z_k^n$$

这就是傅里叶级数方法的基础。

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3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数

3.3.1 成谐波关系的复指数

若连续时间信号满足

$$x(t)=x(t+T)$$

则称其为周期信号，最小正周期为基波周期 $T$，对应基波角频率

$${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$$

与该周期对应的一组基本复指数为

$${\varphi }_k(t)=e^{jk{\omega }_{0}t},k=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

它们彼此成谐波关系，因此周期信号可以表示为

$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$$

这就是连续时间傅里叶级数。

3.3.2 各项的物理意义

• $a_0$：直流分量，也就是一个周期内的平均值
• $k=\pm 1$：基波分量
• $k=\pm 2,\pm 3,\dots$：高次谐波

如果 $a_k$ 是复数，通常把它拆成：

• 幅度谱：$|a_k|$
• 相位谱：$\angle a_k$

这就是频谱图。

3.3.3 系数怎么求

利用成谐波复指数在一个周期内的正交性，可以得到

$$a_k=\frac{1}{T}{\int }_{T}x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt$$

这里积分区间只要长度为一个周期即可，不要求一定从 $0$ 到 $T$。

特别地，

$$a_0=\frac{1}{T}{\int }_{T}x(t)dt$$

即信号的平均值。

3.3.4 常见展开

由欧拉公式

$$\cos {\omega }_{0}t=\frac{1}{2}{e}^{j{\omega }_{0}t}+\frac{1}{2}{e}^{-j{\omega }_{0}t}$$

可见余弦信号只有两个非零傅里叶系数：

$$a_1=a_{-1}=\frac{1}{2}$$

例如

$$x(t)=1+\frac{1}{2}\cos 2\pi t+\cos 4\pi t+\frac{2}{3}\cos 6\pi t$$

本质上就是若干谐波分量的叠加。

3.3.5 周期矩形脉冲的系数

对周期矩形脉冲，若脉冲宽度为 $2T_1$、周期为 $T$，则其傅里叶系数常写成

$$a_k=\frac{2T_1}{T}\mathrm{Sa}\left(k\pi \frac{2T_1}{T}\right)$$

其中

$$\mathrm{Sa}(x)=\frac{\sin x}{x}$$

这个结果很重要，因为它说明：

• 时域是矩形脉冲列
• 频域系数包络会呈现 Sa 形衰减

也就是说，周期越窄的脉冲，需要越多高频谐波来合成。

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3.4 连续时间傅里叶级数的收敛

最佳近似意义

若用有限项级数

$$x_N(t)=\sum _{k=-N}^N{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$$

去逼近原信号 $x(t)$，并让一个周期内的误差能量最小，那么最优系数恰好就是傅里叶级数系数

$$a_k=\frac{1}{T}{\int }_{T}x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt$$

所以可以把傅里叶级数理解为：

• 在“均方误差最小”意义下
• 对周期信号的最佳谐波逼近

收敛条件

常见两组充分条件：

1. 平方可积条件
   若

$${\int }_T|x(t){|}^{2}dt<\infty$$

则系数存在，并且在能量意义下成立

2. Dirichlet 条件

• 一个周期内绝对可积
• 任意有限区间只有有限个极值点
• 任意有限区间只有有限个间断点，且间断值有限

满足 Dirichlet 条件时：

• 在连续点处，傅里叶级数收敛到 $x(t)$
• 在间断点处，收敛到左右极限的平均值

Gibbs 现象

对有跳变间断的信号，有限项傅里叶级数在间断点附近会出现：

• 振荡
• 超调

并且：

• 项数增多时，振荡范围会压缩
• 但超调峰值不会彻底消失

这就是 Gibbs 现象。

做题时要记住：有限项逼近有间断信号时，边缘附近有波纹是正常现象，不是算错。

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3.5 离散时间周期信号的傅里叶级数

3.5.1 表示形式

若序列满足

$$x[n]=x[n+N]$$

则称其为周期为 $N$ 的离散时间周期信号。

与其对应的一组成谐波复指数为

$$e^{j\frac{2\pi }{N}kn}$$

因此离散时间傅里叶级数写为

$$x[n]=\sum _{k=⟨N⟩}{a}_k{e}^{j\frac{2\pi }{N}kn}$$

其中 $⟨N⟩$ 表示只取任意连续的 $N$ 个整数，因为这些指数里实际上只有 $N$ 个彼此独立。

3.5.2 系数公式

离散时间傅里叶级数系数为

$$a_k=\frac{1}{N}\sum _{n=⟨N⟩}x[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$$

并且系数本身也满足周期性：

$$a_{k+N}=a_k$$

所以：

• 时域序列周期为 $N$
• 频域系数序列对 $k$ 也以 $N$ 为周期

3.5.3 与连续时间的区别

离散时间傅里叶级数和连续时间形式很像，但有一个根本差别：

• 连续时间傅里叶级数是无穷项
• 离散时间傅里叶级数本质上只需要 $N$ 个独立系数

因此离散时间傅里叶级数不存在连续时间那种收敛问题，也不会出现 Gibbs 现象。

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3.6 傅里叶级数与 LTI 系统

周期信号经过 LTI 系统后的输出

若连续时间输入为

$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$$

则输出为

$$y(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_{k}H(jk{\omega }_0)e^{jk{\omega }_{0}t}$$

若离散时间输入为

$$x[n]=\sum _{k=⟨N⟩}{a}_k{e}^{j\frac{2\pi }{N}kn}$$

则输出为

$$y[n]=\sum _{k=⟨N⟩}{a}_{k}H\left(e^{j\frac{2\pi }{N}k}\right)e^{j\frac{2\pi }{N}kn}$$

这说明：

• 输出仍是同频率的谐波叠加
• 系统只会对每个谐波乘上不同权重

频率响应

连续时间：

$$H(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(t)e^{-j\omega t}dt$$

离散时间：

$$H(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }h[n]e^{-j\omega n}$$

它们描述的都是：

• 系统对频率为 $\omega$ 的复指数输入的响应

所以频率响应就是系统在频域中的“处理规则”。

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3.7 滤波的直观理解

滤波就是：

• 改变各频率分量的相对大小
• 或直接压制某些频率分量

常见分类：

• 低通滤波器：通过低频，抑制高频
• 高通滤波器：通过高频，抑制低频
• 带通滤波器：只通过某一段频带

从傅里叶级数角度看，滤波器做的事非常直接：

• 保留想要的谐波
• 衰减不想要的谐波

因此滤波本质上就是频域加权。

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3.8 本章做题抓手

• 看到“周期信号分解”就先想到傅里叶级数
• 看到“LTI 系统 + 正弦/复指数输入”就先想到特征函数
• 看到“求输出”就先把输入展开成谐波，再给每个谐波乘上系统频率响应
• 看到“求系数”就直接套 $$a_k=\frac{1}{T}{\int }_{T}x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt$$ 或 $$a_k=\frac{1}{N}\sum _{n=⟨N⟩}x[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$$
• 看到“间断点附近逼近波纹”就想到 Gibbs 现象
• 看到“矩形脉冲列”就想到频谱系数呈 Sa 或 sinc 型衰减包络

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3.9 本章小结

• 复指数是 LTI 系统的特征函数，这是整章的起点
• 周期信号可以表示成成谐波复指数的线性组合，这就是傅里叶级数
• 傅里叶级数把时域问题转成了频域问题
• 周期信号经过 LTI 系统后，各谐波彼此不混叠，只是分别被乘上频率响应
• 连续时间需要关注系数求法、收敛条件和 Gibbs 现象
• 离散时间只需有限个独立谐波，形式类似但更“有限维”

对应教材资料可参考：Chapter3