第二章

第二章 线性时不变系统

2.0 引言

线性时不变系统是信号与系统分析中最为重要的系统类型。原因主要有两点：第一，很多物理过程都具有线性和时不变这两个性质，因此都能用线性时不变系统来表征；第二，线性时不变系统可以进行详细而深入的分析。这种分析不仅能求得对系统性质的深入理解，而且形成了信号与系统分析核心的一整套强有力的方法。

线性时不变系统之所以能够被深入分析的主要原因在于该类系统具有叠加性质。如果能够将线性时不变系统的输入用一组基本信号的线性组合来表示，就可以根据该系统对这些基本信号的响应，然后利用叠加性质求得整个系统的输出。

在离散时间情况下，基本信号是单位脉冲序列 $\delta [n]$；在连续时间情况下，基本信号是单位冲激函数 $\delta (t)$。一般信号都可以表示为延迟冲激的线性组合，这个事实再与叠加性和时不变性结合起来，就能够用线性时不变的单位冲激响应来完全表征任何一个线性时不变系统的特性。这种表示在离散时间情况下称为卷积和，在连续时间情况下称为卷积积分。

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2.1 离散时间线性时不变系统：卷积和

2.1.1 用脉冲表示离散时间信号

离散时间单位脉冲序列具有筛选性质（sifting property），可以将任意离散时间信号表示为一组移位加权单位脉冲的线性组合：

x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k] \delta[n - k] \tag{2.1}

式(2.1)的含义是：序列 $\delta [n-k]$ 仅当 $k=n$ 时为非零，因此在求和过程中，$x[k]$ 被”筛选”出来，只保留下对应于 $k=n$ 时的值。

例：单位阶跃序列可以表示为

$u[n]={\sum }_{k=0}^{+\infty }\delta [n-k]$

2.1.2 卷积和表示

设线性时不变系统对单位脉冲 $\delta [n]$ 的响应为 $h[n]$，称为单位脉冲响应。则对于任意输入 $x[n]$，系统的输出 $y[n]$ 为：

\boxed{y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k] h[n - k]} \tag{2.2}

式(2.2)称为卷积和（convolution sum）或叠加和（superposition sum），记作：

$y[n]=x[n]\ast h[n]$

卷积和的物理意义：在时刻 $k$ 加入的输入 $x[k]$ 引起的响应是 $x[k]h[n-k]$，即单位脉冲响应 $h[n]$ 移位并经加权的结果。真正的输出是所有这些响应的叠加。

重要结论：线性时不变系统的单位脉冲响应 $h[n]$ 完全刻画了系统的特征——只要知道 $h[n]$，就能求出系统对任意输入的响应。

2.1.3 卷积和的直观理解

可以把这一节理解成下面这条主线：

• 先把系统看成一个黑箱：输入 $x[n]$，输出 $y[n]$
• 如果这个系统是 LTI 系统，那么只要研究它对最简单输入 $\delta [n]$ 的响应就够了
• 系统对单位脉冲 $\delta [n]$ 的响应记为 $h[n]$，这就是系统的单位脉冲响应
• 任意离散时间信号都可以拆成很多个移位脉冲的加权和：

$x[n]={\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }x[k]\delta [n-k]$

• 这表示在每个时刻 $k$，放一个位置在 $k$ 的脉冲 $\delta [n-k]$，其高度为 $x[k]$
• 把所有这些小脉冲加起来，就重新拼成原信号 $x[n]$

接下来利用 LTI 系统的两个核心性质：

• 时不变性：若 $\delta [n]\to h[n]$，则 $\delta [n-k]\to h[n-k]$
• 线性性：若输入是若干部分之和，则输出等于各部分输出之和

于是，输入中的每一项 $x[k]\delta [n-k]$ 会产生输出 $x[k]h[n-k]$。把所有这些输出加起来，就得到总输出：

$y[n]={\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }x[k]h[n-k]$

也就是说，可以把卷积和理解为：

• $x[k]$ 表示系统在时刻 $k$ 受到的刺激大小
• $h[n-k]$ 表示这个刺激对当前时刻 $n$ 的影响
• 当前输出 $y[n]$，就是所有时刻输入对当前时刻影响的总和

更生活化地说：输入信号并不是整体一下子作用在系统上，而是每个时刻都在对系统“敲一下”；系统对每一下敲击都会产生一个响应形状 $h[n]$，只不过这个响应会从对应时刻开始展开；最后所有响应叠加起来，就形成总输出 $y[n]$。

因此，卷积的本质就是：把输入分解成一串单位脉冲，再把每个脉冲激发出的响应叠加起来。

2.1.4 卷积和的计算步骤

1. 反转：将 $h[k]$ 关于 $k=0$ 反转，得到 $h[-k]$
2. 移位：将 $h[-k]$ 平移 $n$ 个单位，得到 $h[n-k]$
3. 相乘：将 $x[k]$ 与 $h[n-k]$ 相乘
4. 求和：对所有 $k$ 求和，得到 $y[n]$
5. 重复：对不同的 $n$ 值重复上述过程

2.1.5 卷积和计算举例

例2.1：已知 $x[n]=\{0.5,2\}$ （仅在 $n=0$ 和 $n=1$ 处非零），$h[n]$如图所示，求输出 $y[n]$。

$y[n]=x[0]h[n-0]+x[1]h[n-1]=0.5h[n]+2h[n-1]$

例2.2：设 $x[n]={\alpha }^{n}u[n]$，$h[n]=u[n]$（$0<\alpha <1$），求卷积。

解：对于 $n<0$，$y[n]=0$；对于 $n\ge 0$：

$y[n]={\sum }_{k=0}^n{\alpha }^k=\frac{1-{\alpha }^{n+1}}{1-\alpha },n\ge 0$

因此：

$y[n]=\frac{1-{\alpha }^{n+1}}{1-\alpha }u[n]$

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2.2 连续时间线性时不变系统：卷积积分

2.2.1 用冲激表示连续时间信号

连续时间单位冲激函数同样具有筛选性质。任意连续时间信号可以表示为：

x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \delta(t - \tau) d\tau \tag{2.3}

式(2.3)的推导可以利用脉冲序列的极限形式来理解：当 $\Delta \to 0$ 时，阶梯信号近似变为连续信号，求和变为积分。

2.2.2 卷积积分表示

设连续时间线性时不变系统对单位冲激 $\delta (t)$ 的响应为 $h(t)$，称为单位冲激响应。则对于任意输入 $x(t)$，系统的输出 $y(t)$ 为：

\boxed{y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau} \tag{2.4}

式(2.4)称为卷积积分（convolution integral）或叠加积分（superposition integral），记作：

$y(t)=x(t)\ast h(t)$

重要结论：连续时间线性时不变系统的特性完全由它的单位冲激响应 $h(t)$ 来刻画。

2.2.3 卷积积分的计算步骤

与离散时间类似：

1. 反转：将 $h(\tau )$ 关于 $\tau =0$ 反转，得到 $h(-\tau )$
2. 移位：将 $h(-\tau )$ 平移 $t$ 个单位，得到 $h(t-\tau )$
3. 相乘：将 $x(\tau )$ 与 $h(t-\tau )$ 相乘
4. 积分：在 $(-\infty ,+\infty )$ 区间内对 $\tau$ 积分
5. 重复：对不同的 $t$ 值重复上述过程

2.2.4 卷积积分计算技巧

做卷积积分时，真正的难点通常不在积分本身，而在于先把积分上下限写对。下面这些技巧在题目里很常用：

1. 先找支撑区间，再写积分限

   卷积

   $y(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

   中，只有当 $x(\tau )$ 和 $h(t-\tau )$ 同时非零时，被积函数才非零。因此应先找二者的重叠区间，再把积分限改写成这个区间。

2. 遇到因果信号优先改成有限区间积分

   若 $x(t)=0$（$t<0$），且 $h(t)=0$（$t<0$），则

   $y(t)={\int }_0^{t}x(\tau )h(t-\tau )d\tau ,t\ge 0$

   这一步往往能直接把无穷积分化成定积分，是最常见的简化。

3. 利用交换律，选更容易翻转的那个信号

   由于

   $x(t)\ast h(t)=h(t)\ast x(t)$

   所以不一定非要翻转 $h(\tau )$，也可以改成翻转 $x(\tau )$。在图解题里，通常选形状更简单、分段更少的那个信号去反转和平移。

4. 分段点先列出来，再分区间计算

   若信号由阶跃函数、矩形脉冲或分段函数构成，那么输出通常也要分段写。做题时可先找出所有可能改变重叠关系的临界点，例如：

   • 信号起点、终点
   • 平移后左右边界刚好接触的时刻
   • 阶跃函数参数中的转折点

   然后按这些临界点把 $t$ 轴分段，每一段分别写卷积积分。

5. 阶跃函数先转成不等式，再求交集

   例如若

   $x(\tau )=u(\tau ),h(t-\tau )=u(t-\tau )$

   则对应条件分别是

   $\tau \ge 0,\tau \le t$

   所以非零区间是 $0\le \tau \le t$。这类题的核心就是把每个阶跃函数都翻译成区间条件，再求交集。

6. 矩形与矩形卷积优先看“重叠长度”

   当两个信号都是常值矩形脉冲时，被积函数通常也是常数，这时卷积值就等于：

   $\text{卷积值}=\text{幅度乘积}\times \text{重叠长度}$

   因此结果常常是三角形或梯形波形，用面积法比硬积分更快。

7. 与单位阶跃卷积，本质上是在做积分

   $x(t)\ast u(t)={\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )d\tau$

   所以看到“某信号与 $u(t)$ 卷积”，可以直接理解为“对该信号做累计面积”。若信号本身又是分段常数或分段一次函数，这个技巧尤其高效。

8. 结果可用连续性和端点值快速验算

   对于常见的有限宽度脉冲、指数信号与阶跃信号卷积，结果常常应满足：

   • 重叠前输出为 0
   • 刚开始重叠时输出从 0 连续变化
   • 完全错开后若信号有限长，则输出又回到 0

   所以可用端点值、分段连接处是否连续来检查结果是否写错。

一个常用做题模板：

1. 先写出卷积积分；
2. 判断哪些区间被积函数非零；
3. 求出重叠区间；
4. 按 $t$ 的不同范围分段积分；
5. 最后用端点值和波形形状检查答案。

2.2.5 卷积积分计算举例

例2.3：设 $x(t)=e^{-at}u(t)$（$a>0$），$h(t)=u(t)$，求卷积。

解：对于 $t<0$，$y(t)=0$；对于 $t>0$：

$y(t)={\int }_0^t{e}^{-a\tau }d\tau =\frac{1}{a}(1-e^{-at})$

因此：

$y(t)=\frac{1}{a}(1-e^{-at})u(t)$

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2.3 线性时不变系统的性质

2.3.1 交换律性质

卷积运算满足交换律（commutative）：

• 离散时间：$x[n]\ast h[n]=h[n]\ast x[n]$
• 连续时间：$x(t)\ast h(t)=h(t)\ast x(t)$

物理意义：输入为 $x[n]$、单位脉冲响应为 $h[n]$ 的线性时不变系统的输出，与输入为 $h[n]$、单位脉冲响应为 $x[n]$ 的系统的输出完全相同。

2.3.2 分配律性质

卷积运算满足分配律（distributive）：

$x[n]\ast (h_1[n]+h_2[n])=x[n]\ast h_1[n]+x[n]\ast h_2[n]$

$x(t)\ast [h_1(t)+h_2(t)]=x(t)\ast h_1(t)+x(t)\ast h_2(t)$

系统互联解释：两个单位冲激响应为 $h_1(t)$ 和 $h_2(t)$ 的系统并联，等效于一个单位冲激响应为 $h_1(t)+h_2(t)$ 的系统。

2.3.3 结合律性质

卷积运算满足结合律（associative）：

$x[n]\ast (h_1[n]\ast h_2[n])=(x[n]\ast h_1[n])\ast h_2[n]$

$x(t)\ast [h_1(t)\ast h_2(t)]=[x(t)\ast h_1(t)]\ast h_2(t)$

系统互联解释：两个线性时不变系统级联，总的冲激响应等于各个系统冲激响应的卷积。级联的次序不影响总响应。

重要特性：线性时不变系统级联的次序可以交换，这一点对非线性系统一般不成立。

2.3.4 有记忆与无记忆系统

• 无记忆系统：系统的输出仅取决于同一时刻的输入
• 离散时间无记忆LTI系统：$h[n]=K\delta [n]$，此时 $y[n]=Kx[n]$
• 连续时间无记忆LTI系统：$h(t)=K\delta (t)$，此时 $y(t)=Kx(t)$
• 无记忆像“纯比例器”：你现在给多少，它现在就出多少，不会记住以前
• 有记忆像“带惯性/储能”的系统：弹簧、RC 电路、积分器、累加器，都会保留过去输入的影响 若 $K=1$，则系统为恒等系统，其输出等于输入。

2.3.5 可逆性

一个线性时不变系统是可逆的，当且仅当存在一个逆系统，使得两者级联后得到恒等系统。

• 若原系统的冲激响应为 $h[n]$，则逆系统的冲激响应 $h_1[n]$ 满足：$h[n]\ast h_1[n]=\delta [n]$
• 若原系统的冲激响应为 $h(t)$，则逆系统的冲激响应 $h_1(t)$ 满足：$h(t)\ast h_1(t)=\delta (t)$

例：累加器 $y[n]={\sum }_{k=-\infty }^{n}x[k]$ 的单位脉冲响应为 $h[n]=u[n]$，其逆系统是一次差分运算 $y[n]=x[n]-x[n-1]$，冲激响应为 $h_1[n]=\delta [n]-\delta [n-1]$。

2.3.6 因果性

因果系统：系统的输出只取决于现在和过去的输入值。

• 离散时间因果LTI系统：$h[n]=0$，当 $n<0$
• 连续时间因果LTI系统：$h(t)=0$，当 $t<0$

对于因果系统，卷积和与卷积积分可以简化为：

$y[n]={\sum }_{k=-\infty }^{n}x[k]h[n-k]={\sum }_{k=0}^{\infty }h[k]x[n-k]$

$y(t)={\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )h(t-\tau )d\tau ={\int }_0^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau$

2.3.7 稳定性

稳定系统：对于每一个有界输入，其输出都是有界的。

• 离散时间LTI系统稳定条件：单位脉冲响应绝对可和

${\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }|h[k]|<\infty$

• 连续时间LTI系统稳定条件：单位冲激响应绝对可积

${\int }_{-\infty }^{+\infty }|h(\tau )|d\tau <\infty$

例：纯时移系统 $h[n]=\delta [n-n_0]$ 是稳定的，因为 $\sum |\delta [n-n_0]|=1<\infty$。

累加器 $h[n]=u[n]$ 是不稳定的，因为 ${\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }u[n]=\infty$，不满足绝对可和条件。

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2.4 线性常系数微分方程与差分方程

2.4.1 连续时间系统：线性常系数微分方程

连续时间线性时不变系统常用线性常系数微分方程描述：

${\sum }_{k=0}^N{a}_k\frac{d^{k}y(t)}{d{t}^k}={\sum }_{k=0}^M{b}_k\frac{d^{k}x(t)}{d{t}^k}$

求解这类方程需要初始条件，通常假设初始松弛（系统初始时刻无储能）。

2.4.2 离散时间系统：线性常系数差分方程

离散时间线性时不变系统常用线性常系数差分方程描述：

${\sum }_{k=0}^N{a}_{k}y[n-k]={\sum }_{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$

差分方程可以用迭代法求解，也可以利用 Z 变换（后续章节介绍）。

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本章小结

1. 卷积表示：线性时不变系统可完全由其单位冲激响应表征

   • 离散时间：$y[n]=x[n]\ast h[n]={\sum }_{k}x[k]h[n-k]$
   • 连续时间：$y(t)=x(t)\ast h(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

2. 卷积运算性质：

   • 交换律：$x\ast h=h\ast x$
   • 分配律：$x\ast (h_1+h_2)=x\ast h_1+x\ast h_2$
   • 结合律：$x\ast (h_1\ast h_2)=(x\ast h_1)\ast h_2$

3. 系统性质与冲激响应的关系：

   • 无记忆：$h[n]=K\delta [n]$ 或 $h(t)=K\delta (t)$
   • 因果：$h[n]=0$（$n<0$）或 $h(t)=0$（$t<0$）
   • 稳定：$\sum |h[n]|<\infty$ 或 $\int |h(t)|dt<\infty$
   • 可逆：存在 $h_1$，满足 $h\ast h_1=\delta$