第五章

非周期信号的离散时间傅里叶变换

$x [n] = \frac{1}{2 π} \int_{2 π} X (e^{j ω}) e^{j ω n} d ω$ $X (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] e^{- j ω n}$

$x [n] = \sum_{k =< N >} a_{k} e^{j k (2 π / N) n}$ $X (e^{j ω}) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} 2 π a_{k} δ (ω - \frac{2 π k}{N})$

$X (e^{j (ω + 2 π)}) = X (e^{j ω})$

若 $x_{1} [n] F X_{1} (e^{j ω})$ 且 $x_{2} [n] F X_{2} (e^{j ω})$ 则 $a x_{1} [n] + b x_{2} [n] F a X_{1} (e^{j ω}) + b X_{2} (e^{j ω})$

若 $x [n] F X (e^{j ω})$ 则 $x [n - n_{0}] F e^{- j ω n_{0}} X (e^{j ω})$ 和 $e^{j ω_{0} n} x [n] F X (e^{j (ω - ω_{0})})$

\quad \xleftrightarrow{\text{DTFT}} \quad G\!\left(e^{j(\omega-\omega_0)}\right)$$ $$g[n]e^{-j\omega_0 n} \quad \xleftrightarrow{\text{DTFT}} \quad G\!\left(e^{j(\omega+\omega_0)}\right)$$ $$e^{j\omega_0 n} \;\xleftrightarrow{\text{DTFT}}\; 2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\omega_0-2k\pi)$$