第四章

傅立叶级数到傅立叶变换

• 原来的 x(t) 是非周期信号
• 先构造一个周期信号$x(t)$去逼近它
• 然后让周期 T 越来越大
• 最后周期信号就逼近原信号
• 傅里叶级数：表示周期信号在离散频率$k{\omega }_0$ 处的频率成分权重
• 傅里叶变换$X(\omega )$：表示非周期信号在连续频率$\omega$处的频率成分强度和相位

a_k的理解

• 第k个频率分量在原信号里占了多少
• a_k的本质是表示信号中频率为$k{\omega }_0$的那个复指数成分有多强、相位如何

傅立叶变换对

傅立叶变换： $X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{j\omega t}dt分析公式$

傅立叶反变换： $x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }X(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$

微分方程： $\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(j\omega )e^{j\omega t}d\omega \right]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\partial }{\partial t}\left[X(j\omega )e^{j\omega t}\right]d\omega =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }j\omega X(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$ （因为是对t求导，而$X(j\omega )$不是关于t的函数，可以视为常数） 所以有下列变换对： $\frac{dx(t)}{dt}\leftrightarrow j\omega X(j\omega )$ 进而有： $x(t)\ast u(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )u(t-\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )d\tau$ 又由 $Y(j\omega )=X(j\omega )U(j\omega )$ $y(t)=x(t)\ast u(t)对应Y(j\omega )=X(j\omega )U(j\omega )$ $u(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }\pi \delta (\omega )+\frac{1}{j\omega }$ 因此 $Y(j\omega )=X(j\omega )\left(\pi \delta (\omega )+\frac{1}{j\omega }\right)=\frac{1}{j\omega }X(j\omega )+\pi X(j\omega )\delta (\omega )$ 而 $X(j\omega )\delta (\omega )=X(0)\delta (\omega )$ 因此又有下列变换对： ${\int }_{-\infty }^{t}x(\tau )d\tau \leftrightarrow \frac{1}{j\omega }X(j\omega )+\pi X(0)\delta (\omega )$

时域与频谱

频谱是信号在频域中的表示。其自变量是频率 f 或角频率 $\omega$，因变量是信号在该频率处的复幅值 $X(j\omega )$，它包含幅度$|X(j\omega )|$ 和相位 $\angle X(j\omega )$。频谱反映了信号由哪些频率成分构成，以及各频率成分的强弱和相位关系。

常见信号傅立叶变换

x(t)=e^{-at}u(t),a>0$$$$X(j\omega)=\int^{\infty}_{0}e^{-at}e^{-j\omega t}dt=\frac{1}{a+j\omega}

$x(t)=e^{-a|t|},a>0$ $X(j\omega )={\int }_{-\infty }^0{e}^{at}{e}^{-j\omega t}dt+{\int }_0^{\infty }{e}^{-at}{e}^{-j\omega t}dt=\frac{1}{a-j\omega }+\frac{1}{a+j\omega }=\frac{2a}{a^2+{\omega }^2}$

$x(t)=\delta (t)$ $X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)e^{j\omega t}dt=1$ 即其包含了所有的频率成分，其频谱在整个频率上都为1，即都存在

均匀冲激串 $x(t)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)$ 则 $X(j\omega )=\frac{2\pi }{T}{\sum }_{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -\frac{2\pi }{T}k)$

若给出了$X(j\omega )$的模和相位

可以直接还原出$X(j\omega )$ $X(j\omega )=|X(j\omega )|e^{j\angle X(j\omega )}$

傅立叶变换的性质

线性

若 $x(t)\leftrightarrow X(j\omega ),y(t)\leftrightarrow Y(j\omega )$ 则 $ax(t)+by(t)=aX(j\omega )+bY(j\omega )$

时移

若 $x(t)\leftrightarrow X(j\omega )$ 则 $x(t-t_0)\leftrightarrow X(j\omega )e^{-j\omega t_0}$

证明（使用变量代换） $\text{F}\{x(t-t_0)\}={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t-t_0)e^{-j\omega t}dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t^{\prime })e^{-j\omega (t^{\prime }+t_0)}d{t}^{\prime }=e^{-j\omega t_0}{\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t^{\prime })e^{-j\omega t^{\prime }}d{t}^{\prime }=e^{-j\omega t_0}X(j\omega )$

共轭及共轭对陈性

若 $x(t)\leftrightarrow X(j\omega )$ 则 $x^{\ast }(t)\leftrightarrow X^{\ast }(-j\omega )$

$Re[X(j\omega )]、Im[X(j\omega )]$ 分别表示$X(j\omega )$的实部和虚部

周期信号的傅立叶变换

$X(j\omega )={\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }2\pi a_k\delta (\omega -k{\omega }_0)$

$x(t)={\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$

这里是因为周期信号本身可以展开成很多个复指数信号之和： $x(t)={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$ 而单个复指数信号$e^{j\omega t}$的傅立叶变换就是 $2\pi \delta (\omega -{\omega }_c)$

把每一项加起来就得到了$X(j\omega )$

乘积与卷积

如果时域信号为乘积形式，对应的频域信号常为卷积形式。二者是对偶的，反之亦然。

比如 $y(t)=x(t)p(t)$

则 $Y(j\omega )=\frac{1}{2\pi }X(j\omega )\ast P(j\omega )$

$x_1(t)\ast x_2(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\leftrightarrow }{X}_1(j\omega )X_2(j\omega )$

x_1(t)x_2(t)\xleftrightarrow{\mathcal F}\frac{1}{2\pi}\big[X_1(j\omega)*X_2(j\omega)\big]$$