《电路理论基础》

----Fundamentals of ElectricCircuit

周杰英

中山大学计算机学院

isszjy@mail.sysu.edu.cn

电路理论基础(2026)

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一、什么是电路（ circuits ）

电路是由若干电气元件相互连接构成的电流的通路。

本课程主要接触的电气元件有：

电阻R、电容C、电感L、二极管D 、 MOSFET （场效应管）、理想运算放大器、互感线圈、理想变压器

二、为什么要学习电路？

从学术的观点来看

电路是电气工程（ electrical engineering ）的基础。

– 电路是计算机科学（ computer science ）的基础。

从实际情况来看

电路原理是许多高级课程的先修课程。

熟练掌握电路原理对现实生活有帮助。

三、什么是

EECS ？

国内习惯的归类与统称	各学科领域		国外习惯的归类与统称
电气工程	电力工程		电气工程
信息科学与技术(或电子信息科学与技术)	控制工程
	通信工程
	电子工程

	计算机科学与技术		计算机科学计算机工程
统称:电气工程与信息科学(或电气电子信息科学)		统称:电气工程与计算机科学(简称EECS、ECE)

四、电路都有哪些作用？

处理能量

电能的产生、传输、分配……

处理信号

电信号的获得、变换、放大 ……

同时处理信号和能量

– 天线、 CPU 及其供电系统、智能电网……

电气化铁道系统——处理电能

手机通讯系统— 处理信号

电信号的获得、处理、放大

五、电路原理的后续课程

六、电路分析与电路综合

电路理论（电路原理）

电路分析 (analysis)

电路综合

(synthesis)

七、如何看待电路

本学期的主要内容

线性电阻电路

非线性电阻电路

• 线性动态电路的时域分析

• 线性动态电路的稳态分析

——正弦激励

周期性非正弦激励

电阻电路动态电路

直流电路交流电路暂

态分析稳态分析

电压、电流和功率

电路的组成

电路的模型

电路的变量

— 电压和电流的参考方向

电路的功率

电路理论基础

教材：《电路基础》 ( 原书第 7 版 - 精编版 ) ，机械工业出版社，周巍、段哲民等译， 99 元。ISBN 978-7-111-72786-6

原版英文版：《 Fundamentals of ElectricCircuit 》（ 7th edit ） : Charles K.Alexander, matthew N. O. Sadiku, 199 元。ISBN 978-7-111-58634-0

教学安排：理论课： 3 学时 / 周，共 54 学时

OXFORD

FundamentalsofElectric Circuits

SEVENTHEDITION

DAVIDBELL

教与学

 读电路图的能力，明晰各参数的物理意义，清晰的解题思路；

成绩考查（平时成绩 40% ，期末考试成绩60% 。平时成绩包括作业 35% ，考勤 5% ，）

研究生助教：杨佩宗，杨凯吉

 网络学习资源：超算习堂

教与学（续）

前期知识：代数，微积分，复数计算，微分方程

课堂练习，随堂小测（手脑纸笔）

抓大放小，掌握脉络

核心能力：电路分析（物理头脑，不是数学头脑）

硬件与软件，电子人才与计算机人才

第一章

基本概念

— Fundamentals of Electric Circuit

电路基础

1.1 介绍

电路中的每个组成部分称为元件。

电路是由电气元件相互连接而成的整体。

电路的组成

电路主要由电源、负载、连接导线及开关等构成。

电源（ source ）：提供能量或信号。

负载（ load ）：将电能转化为其他形式的能量，或对信号进行处理。

导线（ line ）、开关（ switch ）等：将电源与负载接成通路。

电路建模

模型和精度的折中。

收音机电路

DC: 直流（ direct current ）

直流电压源： direct current voltage source

R:resistance; 电阻

C: capacitor; 电容器；

L: 电感； inductance

为什么电感用L表示？？？

I表示电流了，纪念科学家LENZ.

计量单位制

表1-1六个基本单位与一个和本书相关的导出单位

量的名称	单位名称	单位符号	量的名称	单位名称	单位符号
长度	米	m	质量	千克	kg
时间	秒	s	电流	安[培]	A
热力学温度	开[尔文]	K	电荷量	库[仑]	C
发光强度	坎[德拉]	cd

表1-2国际单位制前缀

所表示的因数	前缀名称	前缀符号	所表示的因数	前缀名称	前缀符号
1018	艾[可萨]	E	10-1	分	d
1015	拍[它]	P	10-2	厘	c
1012	太[拉]	T	10-3	毫	m
109	吉[咖]	G	10-6	微	μ
106	兆	M	10-9	纳[诺]	n
103	千	k	10-12	皮[可]	p
102	百	h	10-15	飞[母托]	f
101	十	da	10-18	阿[托]	a

电荷的基本概念

基本定义

电荷是物质的一种基本属性，是构成一切电磁现象的基础。

微观构成：

所有物质均由带电粒子组成，如带正电的质子和带负电的电子。

核心性质

两种电荷：正电荷 ( 质子 ) 与负电荷 ( 电子 ) 。

相互作用：同种相斥，异种相吸。

守恒定律：电荷不能被创造或消灭，只能转移。

物理单位

库仑 (C)

为纪念物理学家查尔斯·库仑而命名。

基本常量：

元电荷 (电子电荷量 ) ：

e \approx 1.602 \times 1 0^{- 19} C

2. 电流的定义与单位

图1-3电荷在导体内流动所产生的电流

基本定义

电流是指单位时间内通过导体横截面的电荷量。简单来说，电流就是电荷的定向移动形成的物理量。

单位与换算

主单位：安培 (A) ，定义为 1 库仑 / 秒(1C/s)

辅助单位：毫安 (mA, 10⁻³A) 、微安 (μA,10⁻⁶A)

数学表达式

恒定电流 ( 平均电流 )

I = Δ q /Δ t

随时间变化的电流 ( 瞬时值 )

i (t) = d q (t) / d t

电流

电流是指电荷的时间变化率，单位为安培（ A ）

dq i  微分式 tq idt积分式dt

1 安培 = 1 库

伦 / 秒

电荷的单位为库伦（ C ）

注：请自学简单微积分知识

直流电流

直流电流 (DC) 是随时间保持恒定的电流。

（时不变）

直流电流是指只在一个方向上流动并且是恒定的或者随时间变化的。

直流电（ DirectCurrent ，简称 DC ）是指方向不随时间作周期性变化的电流，但电流大小可能不固定，而产生波形。

恒定电流是直流电的一种，是大小和方向都不变的直流电，它是由爱迪生发现的。

交流电流

交流电流 (AC) 随时间按正弦规律变化的电流。

AC; alternating current ；交替的电流

交流电流是指随时间改变方向的电流。

电流的流动方向

由于定义电荷的运动是电流，所以电流就要有相应的流动方向。如前所述，习惯上取正电荷的运动方向作为电流的流动方向。基于这一国际惯例，一个值为5A的电流既可以表示为正的，也可以表示为负的，如图1-5所示。换言之，图1-5b中沿某个方向流动的一5A的负电流与沿相反方向流动的十5A的正电流是一样的。

(a)

(b)

(a) 正电流

(b) 负电流

图 (a) 和图 (b) 描述的是一样的电流

电荷量的计算

例1-14600个电子带多少电荷量？

解：一个电子的电荷量为 $1 . 6 0 2 \times 1 0 ^ { - 1 9 }$$1 0 ^ { - 1 9 } \mathrm { C } \times 4 6 0 0 { = } { - } 7 . 3 6 9 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \mathrm { C }$ △

练习1-1计算 $6667000000$ 个质子所带的电荷量。

解： Q=1.602×10-19C×6 667 000 000 =1.0680535×10-9C

= 1.0680535 nC

电流的计算

例1-2 流入端点的总电荷量是 $q = 5 t sin 4 π t mC$ $t = 0.5 s$ 时的电流。

解： $i = \frac{d q}{d t} = \frac{d}{d t} (5 t sin 4 π t) mC/s = (5 sin 4 π t + 20 π t cos 4 π t$

$t = 0, 5$

i = 5 sin 2 π + 10 π cos 2 π = 0 + 10 π = 31.42 (mA)

注意 $π$ 的取值，非三角函数中取3.14，三角函数中取值为180度。

练习1-2例1-2中，如果 $q = (10 - 10 e^{- 2 t}) mC,$ ，计算 $t = 1.$ Os时的电流。

解： i=dq/dt=(-10)(-2)(e-2t)mA

t=1.0s 时

i = 20 e^{- 2} m A = 20/ e^{2} m A = 2.7067 m A

说明： e=2.71828

答案：2.707mA

电流瞬时值计算详解

基于电荷量随时间变化函数的导数求解

问题陈述

已知条件：

电荷量随时间变化的关系为

q (t) = 5 t \cdot sin (4 π t) m C

求解目标：

计算在t= 0.5 s

时刻的瞬时电流

i (0.5)

核心定义：电流与电荷量的关系电流的定义是

电荷量随时间的瞬时变化率，

数学表达式为：i(t)=dq/dt

求解思路：对q(t)求导

我们的目标是计算i(0.5)= (dq/dt)在 t=0.5s 时的值。具体步骤分为两步：

1.对q(t)=5t·sin(4πt) 求导，得到电流的一般表达式i(t)。

2.将t=0.5 s代入i(t)，计算出具体数值。

求导过程 (1)：应用乘积法则

函数 q(t) = 5t ·sin(4πt)

是两个关于t的函数的乘积，

即 f(t)= 5t 和 g(t)= sin(4πt)。

求导时需要使用乘积法则：

\frac{d}{d t} [f (t) \cdot g (t)] = f^{'} (t) \cdot g (t) + f (t) \cdot g^{'} (t)

求导过程(2):计算f’(t)

首先，我们对第一个函数

f(t)= 5t 求导, 结果为

f^{'} (t) = 5 。

求导过程(3):计算g(t)

接下来，我们对第二个函数 g(t)= sin(4πt)求导。

这里需要使用链式法则：

1.设内层函数 $u u ⇑= 4 π †$ ，则外层函数为 sin(u)。

2.先对外层函数求导：d/du[sin(u)]= cos(u)。

3.再对内层函数求导：du/dt = 4π。

4.合并结果:g’(t)= cos(u)·du/dt = 4π ·cos(4πt)。

i (t) = \frac{d q}{d t} = f^{'} (t) \cdot g (t) + f (t) \cdot g^{'} (t) = 5 \cdot sin (4 π t) + 5 t \cdot 4 π cos (4 π t) = 5 sin (4 π t) + 20 π t cos (4 π t) m A .

数值代入：计算i(0.5)

现在我们有了电流的一般表达式，接下来将 t = 0.5 s 代入其中:

i (0.5) = 5 sin (4 π \times 0.5)

0.5) + 20 π \times 0.5 \times cos (4 π \times 0.5)

计算三角函数值

首先计算表达式中的三角函数部分：

sin (4 π \times 0.5) = sin (2 π) = 0;

cos(4π × 0.5)= c0s(2π) = 1。我们知道，正弦函数和余弦函数的周期都是2π，所以 sin(2π)= O，cos(2π)= 1。

最终计算

i (0.5) = 5 sin (4 π \times 0.5) + 20 π \times 0.5 \times cos (4 π \times 0.5) = 5 \times 0 + 20 π \times 0.5 \times 1 = 0 + 10 π = 10 π mA \approx 31.42 mA

结论

在t=0.5 s时刻,

电路中的瞬时电流为：

i (0.5) = 10 π m A

(约 31.42 mA)

回顾与总结

核心概念：电流定义

电流是电荷量对时间的导数 i(t)dq/dt 。

数学工具：求导法则

在求解复杂函数时，灵活运用：

• 乘积法则 (Product Rule)

链式法则 (Chain Rule)

标准解题步骤

求导得到电流的一般表达式
代入具体时间值进行计算

关键技巧：特殊角记忆

计算时注意三角函数的特殊值：

sin (2 π) = 0, cos (2 π) = 1

常见电流-电荷量关系求导速查表

核心定义公式

i (t) = d q / d t

速查表结构预览

恒定电荷量

$q (t) = Q$ ( 常数 )

i (t) = 0

线性变化

q(t) = kt

i(t) $= k$ ( 常数 )

非线性变化

$q (t) = t^{2}$ 或 e^(at)

$i (t) = 2 t$ 或 a·e^(at)

核心定义回顾

电流的定义

在电路分析中，电流 (Current) 的定义是电荷量随时间的瞬时变化率。这意味着电流本质上是电荷量对时间的一阶导数。

数学表达

i (t) = d q / d t

基于此公式，我们将推导出常见的q(t) 函数形式及其对应的电流i(t) 。

基本函数形式

常数函数形式

电荷量 q(t) ：

q (t) = C (常 数)

电流 i(t) ：

i (t) = 0

说明：电荷量不随时间变化，电路中无电流。

线性函数形式

电荷量 q(t) ：

q (t) = k t (k 为 常

数 )

电流 i(t) ：

i (t) = k

说明：电荷量随时间线性变化，电路中为恒定电流。

幂函数形式

电荷量 q(t) ：

q (t) = k t^{\land} n

电流 i(t) ：

i (t) = nk t^{\land} (n - 1)

说明：应用幂函数求导法则，指数前置并减一。

二、三角函数形式

在相位上， Aω cos(ωt+φ) ⋅ 等价于 Aω sin(ωt+φ+90 ) ⋅ ∘ 。因此，我们说余弦形式的信号比正弦形式的信号相位超前了 90 度。

04. 正弦变化 (Sine Function)

说明：应用链式法则求导，电

电荷量

q (t) = A \cdot sin (ω t + φ)

流相位超前电压 90 度，呈现余

i (t) i (t) = A ω \cdot cos (ω t + φ)

弦形式。

余弦变化 (Cosine Function)说明：应用链式法则求导，余

电荷量

q (t) = A \cdot cos (ω t + φ)

弦函数的导数为负的正弦函数，

i (t) i (t) = - A ω \cdot sin (ω t + φ)

需注意负号的存在。

三、指数函数形式

电荷量 ( q(t) ) ( 单位 : C)

$q (t) = A e^{λ t}$ ( 其中 A, λ 为常数 )

！电流 ( 单位 : A)

i (t) = A λ e^{λ t}

说明：指数变化的电荷量，应用指数函数求导法则。常用于描述电路的暂态过程（如 RC/RL 电路充放电）。

四、常用求导法则

和差法则 (Sum/DifferenceRule)

函数形式： $q (t) = f (t) + g (t)$

导数结果： $i (t) = f^{'} (t) + g^{'} (t)$

商数法则 (QuotientRule)

函数形式： $q (t) = f (t) / g (t)$

导数结果： $i (t) = [f^{^{'}} (t) g (t)$ -

f (t) g^{'} (t)] / [g (t)]^{2}

乘积法则 (Product

函数形式：Rule) $q (t) = f (t) \cdot g (t)$

导数结果： $\dot{i} (t) = f^{'} (t) g (t) + f (t) g^{'} (t)$

示例： d/dt [5t sin(4πt)] = 5sin(4πt) + 20πtcos(4πt)

链式法则 (Chain Rule)

函数形式： $q (t) = f (g (t))$

导数结果： $i (t) = f^{'} (g (t)) \cdot g^{'} (t)$

示例： d/dt $[sin (4 π t)] = 4 π cos (4 π t)$

电荷的计算

例1-3如果流过端点的电流是 $i = (3 t^{2} - t) A$ $t = 1 s$ $t = 2 s$ 之间流入该端点的电荷量。

解：

Q = \int_{i = 1}^{2} i d t = \int_{1}^{2} (3 t^{2} - t) d t = (t^{3} - \frac{t ^{2}}{2})_{1}^{2} = (8 - 2) - (1 - \frac{1}{2}) = 5.5 (C)

练习1-3如果流过某个元件的电流为：

i = {4 A, 4 t^{2} A, 0 < t < 1 t > 1

计算 $t = 0 s$ $t = 2 s$ 之间流人该元件的电荷量。

= \int_{0}^{1} 4 d t + \int_{1}^{2} 4 t^{2} d t = 4 t ∣_{0}^{1} + \frac{4}{3} t^{3} ∣_{1}^{2} = 4 + \frac{4}{3} (2^{3} - 1^{3}) = 4 + \frac{4}{3} (8 - 1) = 4 + \frac{9}{3} \times 7 = 4 + \frac{28}{3} = 13.333 \dots (c)

练习1-3如果流过某个元件的电流为：

i = {4 A, 4 t^{2} A, 0 < t < 1 t > 1

计算 $t = 0 s$ $t = 2 s$ 之间流人该元件的电荷量。

解： q = ₀² i(t) dt = ₀¹ i(t) dt + ₁² i(t) dt ∫ ∫ ∫

= \int_{0}^{1} 4 d t + \int_{1}^{2} 4 t^{2} d t = 4 t_{0}^{1} + (4/3) t^{3}_{1}^{2} = 4 (1 - 0) + (4/3) (2^{3} - 1^{3}) = 4 + (4/3) (8 - 1) = 4 + 28/3 = (12 + 28) /3 = 40/3 \approx 13.33 C

电流与电荷量计算示例

基于定积分的物理问题求解

建立物理模型

分析电路中电流随时间变化的规律，确定电流函数 I(t) 的表达式，明确积分上下限。

构建积分方程

利用微元法思想，将总电荷量 Q 表示为电流 I(t) 对时间 t 的定积分，即Q = I(t)dt ∫ 。

计算与验证

代入具体数值进行积分运算，求解总电荷量，并对结果的物理意义和单位进行验证。

问题陈述

已知条件：电流函数

电路中某端点的电流随时间变化的函数为：

i (t) = 3 t^{2} - t

其中：电流 i 的单位为安培 (A)时间 t 的单位为秒 (s) 。

求解目标：总电荷量

计算在指定时间间隔内，流入该端点的总电荷量

t = 1 s 到 t = 2 s

提示：利用电流与电荷的积分关系进行求解。

核心物理公式：电荷量与电流的积分关系

q = \int i (t) d t_{t_{2}}^{t_{1}}

电荷量 (q)

单位：库仑 (C)

表示单位时间内通过导体横截面的总电量。

电流函数 (i(t))

单位：安培 (A)

随时间变化的电流瞬时值，是被积函数。

时间区间 (t₁, t₂)

单位：秒 (s)

积分的上下限，表示测量或计算的起始和终止时刻。

代入已知条件

提取题目参数

电流函数 i(t) ：

i (t) = 3 t^{2} - t

时间区间 [a, b] ：

[1, 2]

构建定积分模型

q = \int (3 t^{2} - t) d t

( 上限 2 ，下限 1)

结论：问题转化为求解该定积分

求解原函数

拆分被积函数

\int (3 t^{2} - t) d t

分项积分运算

\int 3 t^{2} d t - \int t d t

得到原函数

t^{3} - (1/2) t^{2} + C

注：其中 C 为积分常数，在后续计算定积分时，由于上下限相减，C 会被消去，因此在计算定积分时通常可以省略。

计算定积分

步骤 1 ：代入上下限

将原函数代入上限 t=2和下限 t=1：

q = [t^{3} - 1/2 t^{2}]_{1}^{2} = (8 - 2) - (1 - 0.5)

步骤 2 ：分别求值

分别计算上限和下限的函数值：

上限值： 8 - 2 = 6下限值： 1 - 0.5 =0.5

步骤 3 ：计算差值

上限值减去下限值，得到最终电荷量：

q = 6 - 0.5 = 5.5 C

结论

t=1s 到 t=2s 流入端点的总电荷量

5.5 库仑 (C)

总结：通过将电流对时间积分，我们成功求解了特定时间段内的总电荷量，展示了微积分在物理问题中的实际应用。

1.4 电压

电动势 (Electromotive force /emf)

电位差（ Potential difference ）

v_{ab} = \frac{d w}{d q}

1 伏特 = 1 焦耳 / 库伦 = 1 牛顿 · 米 / 库伦

电压

电压 ( 电位差 ) 是指移动单位电荷通过某个元件所需的能量，单位是伏特（ V ）。

（点）电位 vs 电压（差）

电动势、电位差、电压：什么关系？

是一个意思，不同的名称而已，都是指的电压。

电动势又称为电压（voltage）或电位差（potentialdifference）。

电势、电位和电压又是什么关系？

电势就是电位，电势差有时候就叫做电位差，也就是电压。

在电路中设定一个参考点，规定其电位为零，即接地点，有时未必接大地，只是接电源的负极。其余各点对参考点的电压值，就是该点的电位值。

电压等于电位差。参考点不同则各点电位值不同，但是各点之间的电压不变。

（点）电位 vs 电压（差） — 续

如右图， a 是参考点，电位 Va =0 ， Vb = E1 ， Ve =- E2 。

电压 U1 = Vb - Vc ，U2 = Vc - Vd 。

直流电压用 V （大写）来表

示：

v ： voltage

伏特

交流电压用 v （小写）来表示：

1.5 功率与能量

功率

功率是消耗或者吸收能量的时间变化率，单位是瓦特（ W ）。

p = \frac{d w}{d t}

p = \frac{d w}{d t} = \frac{d w}{d q} \cdot \frac{d q}{d t} = v i

或

p = \overset{v}{˙} i

功率 p 是一个时变量，称为瞬时功率 p(t) 。

关联参考方向 / 无源符号规则：

无规则，不方圆！

当电流从元件的正极流入，负极流出时，满足关联参考方向，则。p vi

当电流从元件的负极流入，正极流出时，不满足关联参考方向，则。p  vi

p = \frac{d w}{d t}

p = \pm v i

如果功率值 >0 ，该元件吸收或消耗功率。

如果功率值 <0 ，元件对外提供或释放功率。

是否符合关联参考方向？

p = \pm v i

p = + ν i

(a)

p = - ν i

(b)

(a)

(b)

元件吸收功率为 12W 的两种情况：

(a) p = 4 * 3 = 12(W)

(b) p = 4 * 3 = 12(W)

(c)

(d)

元件发出功率为 12W 的两种情况 :

或 $p = 4^{⋆} (- 3) = - 12 (W)$

(d) $p = - (4^{⋆} 3) = - 12 (W)$

或 $p = 4^{⋆} (- 3) = - 12 (W)$

能量

能量是指做功的能力，单位为焦耳（ J ） 0

w = \int_{0}^{t} p d t = \int_{0}^{t} v i d t

1 Wh = 3, 600 J

1 度电＝1千瓦小时

注意：任何电路都必须遵守能量守恒定律。

\sum p = 0

吸收的正功率发出的负功率

例1-4某电源使得2A的恒定电流流过灯泡10s，如果灯泡以光能和热能的形式消耗的能量为 $2, 3 kJ$ ，计算灯泡两端的电压降。

解：总电荷量为：

Δ q = i Δ t = 2 \times 10 = 20 (C)

电压降为：

v = \frac{Δ w}{Δ q} = \frac{2.3 \times 1 0 ^{3}}{20} = 115 (V)

练习1-4将电荷 $q$ 从 $^{b}$ 点移动到 $a$ 点所需的能量为25J，计算下面两种情况下的电压降 $v_{ab} (a)$ 点电压值相对于 $^{b}$ $(a)_{q} = 5 C$

解：（ a)=(25J)/(5C)=5V

(b) = (25 J) / (- 10 C) = - 2.5 V

例 1-5

计算在 t = 3 ms 时该元件所吸收的功率，如果流入某元件正极的电流为：

i = 5 cos 60 π A

且该元件两端的电压为： (a) v = 3i,

(b) v = 3 di/dt.

， (a) v = 3i, 已知： i 5 cos 60t A

(b) v = 3 di/dt

解

(a) 电压为 v 3i 15cos 60t

因此功率为：

p = ν i = 75 cos^{2} 60 π t W

在 t =3ms 时，所求功率为：p 75cos (60 3 10 ) 75cos 0.18 2 3 2   W53.48

注意： $π = 180$ 度，不是3.14

已知：i 5cos 60t A

(b) dtdiv 3 t tV3( 60 )5sin 60  900 sin 60

p = v i = - 4500 π sin 60 π t cos 60 π t W

在 t =3ms 时，所求功率为：

p = - 4500 π sin 0.18 π cos 0.18 π W = - 14137.167 sin 32. 4^{\circ} cos 32. 4^{\circ} = - 6.396 k W

注意：三角函数中，π=180度；否则π=3.14

$v = 2 i \mathrm { ~ V , ( b ) } v = \left( 1 0 + 5 \int _ { 0 } ^ { t } i \mathrm { d } t \right) \mathrm { V }$$t = 5 \mathrm { m s }$

解a)=p=vi=2ixi=2i²

= 2 \times (5 cos 60 π t)^{2} = 50 (cos 60 π t)^{2} t = 5 m s 时, π = 18 0^{\circ}, 代 λ . p = 50 (cos (60 \times 180 \times 0.005))^{2} = 50 \times (cos 5 4^{\circ})^{2} = 17.27 W

已知： i 5cos 60t A

（a)p=vi=2i×i= 2i² $p = v i = 2 i \times i = 2 i^{2}$

= 2 \times (5 cos 60 π t)^{2} = 50 (cos 60 π t)^{2}

当 $t = 5 ms$ 时，取 $π = 18 0^{\circ}$ ，代入得

p = 50 [cos (60 \times 180 \times 0.005)]^{2} = 50 \times (cos 5 4^{\circ})^{2} \approx 17.27 W

题目条件

·电流函数： $i (t) = 5$ cos(60πt) A

·计算时刻：t=0.005 s

·注意：60πt单位为弧度，计算时取π=180°

$v = 2 i V, (b) v = (10 + 5 \int_{0}^{t} i d t) V,$

计算 $t = 5 ms$ 时该元件所吸收的功率。

答案：（a)17.27W，（b)29.7W

$cos 60 π + A^{'}, V = (10 + 5 6^{+} d t) V, t$

P = V i = (10 + 5 \int_{0}^{t} i d t) i = (10 + 5 \int_{0}^{0.005} 5 cos 60 π t d t) \times 5 cos 60 π t = 50 cos 60 π t + 125 (cos 60 π t) \times [\frac{1}{60 π} \times sin^{60} π t]_{0}^{0.005} = 50 cos (60 \times 180 \times 0.005) + 125 cos 5 4^{\circ} \times \frac{1}{60 π} sin 5 4^{\circ} = 50 cos 5 4^{\circ} + 125 cos 5 4^{\circ} \times \frac{1}{60 \times 3.14} sin 5 4^{\circ} = 50 \times 0.5878 + \frac{125 \times 0.5878}{188.4} \times 0.8090 = 29.39 + 0.3155 = 29.70 (w)

(b) 解

·电流表达式：i=5cos(60πt)A

·电压表达式： $v = (10 + 5 \int_{0}^{t} i d t)$

·计算积分项：

\int_{0}^{t} i d t = \int_{0}^{t} 5 cos (60 π τ) d τ = \frac{5}{60 π} sin (60 π t) = \frac{1}{12 π} sin (60 π t)

2.代入 $t = 5 ms = 0.005 s$ 计算瞬时值

·计算相位角：

60 π t = 60 π \times 0.005 = 0.3 π rad = 5 4^{\circ}

·计算电压瞬时值：

v = 10 + 5 \times \frac{1}{12 π} sin (5 4^{\circ}) \approx 10 + \frac{5}{12 π} \times 0.8090 \approx 10.1077 V

·计算电流瞬时值：

i = 5 cos (5 4^{\circ}) \approx 5 \times 0.5878 \approx 2.939 A

3.最终结果：瞬时功率计算

瞬时功率公式： $p = v \cdot i$

·计算结果：

p \approx 10.1077 \times 2.939 \approx 29.7 W

·结论：当 $t = 5$ ms 时，该元件吸收的功率为29.7W。

注意：三角函数中”π=180度’，非三角函数中”π= 3.14’

已知条件:i=5cos(60πt)A，v=10+5Sidt V

三角函数代值时用π=180°

p (t) = v \cdot i

= (10 + 5 \int_{0}^{t} 5 cos 60 π t d t) \times 5 cos 60 π t = 50 cos 60 π t + 125 cos 60 π t \cdot \int_{0}^{t} cos 60 π t d t

\int_{0}^{0.005} cos 60 π t d t = \frac{1}{60 π} sin 60 π t_{0}^{0.005} = \frac{1}{60 π} sin 5 4^{\circ}

代入数值（ $π \approx 3.14$ ,cos 54°~ 0.5878,sin 54°~ 0.8090）:

p \approx 50 \times 0.5878 + \frac{125 \times 0.5878 \times 0.8090}{60 \times 3.14} = 29.39 + 0.3155 \approx 29.70 W

以下是电路基础课程中最常用的积分公式，涵盖了基本函数、三角函数和指数函数的积分，这些公式在求解电压、电流、能量等问题时经常用到：

一、基本积分公式

$\int k d x = k x + C$ $k$ 为常数)

2.Sxndx=n+1

$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$

二、三角函数积分公式

$. \int sin (a x) d x = - \frac{1}{a} cos (a x) + C$

$\int cos (a x) d x = \frac{1}{a} sin (a x) + C$

Scot(ax)dx = 1 In| sin(ax)| + C 0

三、指数函数积分公式

8 $\int e^{a x} d x = \frac{1}{a} e^{a x} + C$

9 $\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{l n a} + C (a > 0, a \neq = 1)$

四、电路分析中常用的特定积分

10.电容电流积分求电压：

v_{C} (t) = \frac{1}{C} \int_{t_{0}}^{t} i_{C} (τ) d τ + v_{C} (t_{0})

11.电感电压积分求电流：

i_{L} (t) = \frac{1}{L} \int_{t_{0}}^{t} v_{L} (τ) d τ + i_{L} (t_{0})

12.功率积分求能量：

w (t) = \int_{t_{0}}^{t} p (τ) d τ = \int_{t_{0}}^{t} v (τ) i (τ) d τ

这些是电路基础中最核心的积分工具，熟练掌握它们对于分析动态电路（如含有电容和电感的电路）至关重要。

例 1-6

一个 100W 的电灯泡 2h 消耗的电能是多少？

解 :

w = pt = 100 (W) \times 2 (h) \times 60 (min / h) \times 60 (s / min) = 720, 000 J = 720 k J

即

w = pt = 100 W \times 2 h = 200 W h

练习1-6一台家用电热器连接至110V电压的时候电流为10A，计算此电热器工作6个小时消耗的能量为多少。答案：6.9千瓦·时

解： w=pt=vit=110Vx10Ax6h=6600wh=6.6 千瓦时

1 度电 = 1 千瓦时（ kWh ）

一度电，就是 1 千瓦时。

纸质版教材上 , 连接至 115V 电压：

w=pt=vit=115vx10Ax6h=6900wh=6.9 千瓦时

1.6 电路元件

无源器件 (passive element)

有源器件 (active element)

理想独立源 (ideal independent source )

理想独立源是指能够提供特定电压或电流，而与其外接电路完全无关的有源元件。

VCR—电压 - 电流关系

理想独立电压源

理想独立电流源

电路符号：

(a)

（(b）

独立电压源

(a)可表示直流电压源或交流电压源

(b)表示直流电压源

独立电流源

理想的非独立源（受控源）

理想的非独立 ( 或受控源 ) 是指其所提供的电压或电流受到其他电压或电流控制的有源元件。

1.电压控制电压源 (VCVS)

2.电流控制电压源 (CCVS)

3.电压控制电流源 (VCCS)

4.电流控制电流源 (CCCS)

(a)

(b)

电路符号 :

(a)受控电压源

(b)受控电流源

Q: 这是什么类型的受控源？。。。

Q: 这是什么类型的受控源？

A: 电流控制的电压源

大小和单位： 10i V ，不是 10i A ！

例 1-7 （堂练）

计算图中各元件所发出或吸收的功率。

（解题规范：打标签。。。）

解 :

（解题规范）根据图示标签 :

p_{1} = 20 (- 5) = - 100 W

Supplie发出功率

p_{2} = 12 (5) = 60 W

Absorb吸收功率

p_{3} = 8 (6) = 48 W

Absorbe吸收功率

p_{4} = 8 (- 0.2 I) = 8 (- 0.2 \times 5) = - 8 W

Supplie提供功率

p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} = - 100 + 60 + 48 - 8 = 0

练习1-7计算图1-16的电路中每个元件吸收的功率或发出的功率。

解： p1=(-5v)x(9A)=-45W;

p 2 = 2 V \times 9 A = 18 W;

p3 = 4A \times 0.6 \times 5A = 12W;

p4 = 5Ax3V = 15W;

p 1 + p 2 + p 3 + p 4 = 0

答案： $p_{1} = - 45 W, p_{2} = 18 W, p_{3} = 12 W, p_{4} = 15 W$

1.7 应用实例

某家庭一月份耗电量为 400 kW·h ，按照如下电费标准，确定该家庭当月的电费账单 :

每月的基本供电服务费 $12.00 。

每月第一个 100kW·h 按 16 美分 /kW·h计费。

之后的 200kW·h 按 10 美分 /kW·h 计费。

超过 200 kW·h 按 6 美分 /kW·h 计费。

解 :

电费账单计算如下：

每月的基本供电服务费 = $12.00

第一个 100 kWh × $0.16/ k W \cdot h =$ 16.00

之后的 200 kWh × $0.10/ k W \cdot h =$ 20.00

剩余的 100 kWh × $0.06/ k W \cdot h =$ 6.00

总电费 = $54.00

$54平均价格 13.5  美分 / kW·h100 200 100 

例1-9 某家庭一月份耗电量为700kW·h，按照如下电费标准确定该家庭当月的电费

每月的基本供电服务费$12.00。

$100 kW \cdot h$ $/ kW \cdot h$

$200 kW \cdot h$ $/ kW \cdot h$

超过 $300 kW \cdot h$ $/ kW \cdot h$

解：电费账单计算如下：

每月的基本供电服务费 $= \$ 12.00$

$100 kW \cdot h \times \oint 0.16/ kW ∙ h = \oint 16.00$

之后的 $200 kW \cdot h \times \oint 0.10/ kW \cdot h = \oint 20.00$

剩余的 $400 kW ∙ h \times \oint 0.06/ kW ∙ h = \oint 24.00$

一月份的总电费 $= \$ 72.00$

平均价格 $= S 72.00/ (100 + 200 + 400) = 10.2$

练习1-9参考例1-9中电费的计算方法，如果某家庭七月份大部分时间外出休假，只用了 $350 kW \cdot h$ 的电量，计算该月每千瓦时的平均电费。答案：14.571美分/kW·h

解：平均电费 = （ $12 +$ 0.16100+ $0.10 * 200 +$ 0.0650 ） /350 kW·h=$0.1456 /kW·h =14.56 美分 /kW·h

例1-10

解： (V1-5)/2+V1/8+(V1+3)/4=0 (kcl)

i 8 = V 1/8 (A) = 0.25 A

本章小结：

电路由若干相互连接在一起的电路元件构成。

电流是在给定方向下某点电荷变化的速率：

i = \frac{d q}{d t}

电压是指移动 1C 电荷所需要的能量：

ν = \frac{d w}{d q}

功率是指单位时间所发出或吸收的能量，也可以用电压与电流的乘积表示：

p = \frac{d w}{d t} = v i

按照关联参考方向，如果电流从元件电压的正极流入，则功率计算式的符号为取正。

一个理想的独立电压源，无论两端连接什么元件，总是给出特定的电位差；一个理想的独立电流源，无论其两端连接什么元件，总会产生特定的电流。

电压源和电流源可以是受控源，也可以是独立源，受控源的大小受电路中其他变量的控制。

本章重点与难点

i , v, p 正负号的确定及其物理意义（代数，代数！）；

关联参考方向 / 无源符号约定（规则）；

受控源是（对某种功能电路）的一种数学模型或电路模型，不是具体的某种电子器件。

测验题

$1 0^{6}$

$1 0^{- 3}$

$2 mV$

则其两端的电压为：

（a）电压控制电流源

（b）电压控制电压源

（c）电流控制电压源

（d）电流控制电流源

答案

答案 $: 1 (b); 2 (d); 3 (c); 4 (a 7 (a); 8 (c); 9 (b); 10 (a$

本章作业

画出本章思维导图

1.18 （功率）

1.20 （电压，电流）

1.23 （能量，功率）

1.36 （能量，电流）注：原题所述“额定功率”应为“额定容量”

自学：微积分初步

注：请各位独立完成。计算结果请以小数形式呈现，勿使用分数形式。

RichardYi's Notebook

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第1章-基本概念

《电路理论基础》

----Fundamentals of ElectricCircuit

电路理论基础(2026)

一、 什么是电路 （ circuits ）

二、为什么要学习电路？

三、 什么是

四、电路都有哪些作用？

电气化铁道系统——处理电能

手机通讯系统— 处理信号

五、 电路原理的后续课程

六、 电路分析与电路综合

七、 如何看待电路

本学期的主要内容

电压、 电流和功率

电路理论基础

FundamentalsofElectric Circuits

教 与 学

教 与 学 （续）

第一章

基本概念

1.1 介绍

电路的组成

电路建模

收音机电路

计量单位制

电荷的基本概念

基本定义

核心性质

物理单位

2. 电流的定义与单位

基本定义

单位与换算

数学表达式

电流

电流是指电荷的时间变化率，单位为安培（ A ）

直流电流

直流电流 (DC) 是随时间保持恒定的电流。

交流电流

交流电流 (AC) 随时间按正弦规律变化的电流。

电流的流动方向

电荷量的计算

电流的计算

电流瞬时值计算详解

基于电荷量随时间变化函数的导数求解

问题陈述

核心定义：电流与电荷量的关系电流的定义是

求导过程 (1)：应用乘积法则

求导过程(2):计算f’(t)

求导过程(3):计算g(t)

数值代入：计算i(0.5)

计算三角函数值

最终计算

结论

回顾与总结

核心概念：电流定义

数学工具：求导法则

标准解题步骤

关键技巧：特殊角记忆

常见电流-电荷量关系求导速查表

速查表结构预览

核心定义回顾

电流的定义

数学表达

基本函数形式

常数函数形式

线性函数形式

幂函数形式

二、三角函数形式

04. 正弦变化 (Sine Function)

三、 指数函数形式

四、 常用求导法则

电荷的计算

电流与电荷量计算示例

基于定积分的物理问题求解

建立物理模型

构建积分方程

计算与验证

一、什么是电路（ circuits ）

三、什么是

五、电路原理的后续课程

六、电路分析与电路综合

七、如何看待电路

电压、电流和功率

教与学

教与学（续）

三、指数函数形式

四、常用求导法则

（点）电位 vs 电压（差）

电势、电位和电压又是什么关系？

（点）电位 vs 电压（差） — 续

直流电压用 V （大写）来表

理想的非独立源（受控源）