第3章-分析方法

第 3 章

分析方法

Fundamentals of Electric Circuit电路基础

Scientists study the world asit is, engineers create the worldthat never has been.

— Theodore von Karman

Fundamentals of Electric Circuit

拓扑约束

元件约束

KCL

KVL

VCR

I (i)

V (v)

P (p)

2 大基本法：

5 大定理：

元件（ R,C,L ）

电路（ DC,AC ）

暂态，稳态

时域，频域

电耦合，磁耦合

。

。

。

3.2 节点分析法

(— 本节只含电流源 , 不含电压源 )

节点分析法 : 通过列节点电流方程，求得节点电压

确定节点电压的步骤 :

1. 选一个节点作为参考节点，以此点作为电压的参考电位，假设剩下的 n-1 个节点的电压为v1,,v2,……vn-1 。

2. 将基尔霍夫电流定律应用于 n-1 个非参考节点，并根据欧姆定律用电压来表示支路电流 .

3. 求解联立方程，得到未知节点电压 . （ (n-1) 个方程，解 (n-1) 个节点电压．）

参考节点（地） 的常用符号

a）公共地

c）机壳地

例右图

1: 选定参考节点 ( 节点 O ，其 $\nu =0)$

2: 列写所有非参考节点的 KCL 方程：

注意：给假设的参数（ i1,i2 ）打标签！

节点 1

节点 2

3 ： VCR ： 1 0 ,vi -= $i_1=\frac{v_1-0}{R_{{}_1}},i_2=\frac{v_1-v_2}{R_{{}_2}},i_3=\frac{v_2-0}{R_{{}_3}}$ 2 i = 1 2 , v v i - =

符号规则 : 在电阻中，电流从高电位（ + ）流向低电位（ - ）：

$$i=\frac{V_{\text{h i g h e r}}-V_{\text{l o w e r}}}{R}=\frac{V_{+}-V_{-}}{R}$$

题图

(b)

打标签！

例3-1 计算图3-3a所示电路中各节点的电压。

解： V1/2=5+(V1-V2)/4

$$(\mathrm{V}1-\mathrm{V}2)/4+10=\mathrm{V}2/6+5$$

a）原始电路

b）分析电路

练习3-1求图3-4所示电路的节点电压。

解： 14=v1/4+(v1-v2)/5

$$(\mathrm{v}1-\mathrm{v}2)/5=\mathrm{v}2/5+7$$

答案： $v_1=30V,v_2=-2.5V$

例 3-2 ： （详

解）

确定图 (a) 中各节点的电压。

解： （标签 $+$ 原始方程！）

如图 (b) 所示：

选取参考节点 ; 假设节点电压 ; 标记电流

(a) 题图

(b) 第 1 步：打标签

(a) 题图

(b) 电路分析

x i  i 13 X

1i = 1 3v v-4

KCL 方程

② x 2 3

③ 1 2

VCR 方程

⑤ xi2

⑥

⑦ 2 0vi -=

(a)

(b)

解方程组，得

$$v_1=4.8\mathrm{V},v_2=2.4\mathrm{V},v_3=-2.4\mathrm{V}$$ $$i_1=\dots$$ $$i_2=\dots$$ $$i_3=\dots$$ $$i_x=\dots$$

练习 $\begin{array}{rlr}& 3-2& \ast |\ast |\ast |3-6|9|⊺\overrightarrow{\mathcal{M}}:\mathbb{HHH}=1\\ & & \ast |\ast |\ast |3|\ast |3|\\ & \circ & \ast |\ast |\ast |3|=32\mathrm{V},\end{array}$ 非参考节点的电压

$$v_3=62.4\mathrm{V}$$

解： 4= （ V1-V2)/3+(V1-V3)/2

$$\mathrm{V}2/4=(\mathrm{V}1-\mathrm{V}2)/3+4\mathrm{X}(\mathrm{V}2/4)$$ $$\mathrm{V}3/6+4\mathrm{X}(\mathrm{V}2/4)=(\mathrm{V}1-\mathrm{V}3)/2$$

3.3 含电压源的节点分析法 （改）

超节点（广义节点）？

大道至简！

少即是多，以不变应万变。。。

举例

如图 , 求各节点电压。

解 :

a）对超节点应用KCL

b）对回路应用KCL

a）对超节点应用KCL

b）对回路应用KCL

$$2=i_1+i_2+7$$ $$\begin{array}{l}2=\frac{v_1-0}{2}+\frac{v_2-0}{4}+7\Rightarrow 8=2v_1+v_2+28\\ -v_1-2+v_2=0\Rightarrow v_2=v_1+2\end{array}$$

举例

如图 , 求节点电压。

解决方案 :

$$v_2-v_1=2$$

③

④ 。。。

⑤ 。。。⑥ 。。。

⑦ 。。。

注意 :

1 ， 10Ω 电阻并联 2V 电源，原电路可化简为 … ，前提是不影响外所求电路参数（即外电路等效）。

2 ， 2V 电压源上的电流 i2 。。。

练习3-3求图3-11所示电路中的v与i。

解：

$$2\mathrm{i}-\mathrm{V}=6$$

$$(14-\mathrm{V})/4=\mathrm{V}/3+\mathrm{i}+2\mathrm{i}/6$$

答案：-400mV，2.8A

例题：求图 3.7 中各节点的电压？（堂练）

解： i1+i4=i2+i3

$$(10-\mathrm{V}2)/2+(10-\mathrm{V}3)/4=\mathrm{V}2/8+\mathrm{V}3/6$$ $$V2-V3=5$$

图 3.7 （堂练）

解决方案 : ( 原来的方案）

假设电压源电流 i5;

然后根据电压源特性增补方程：

$$v2-v3=5$$

例3-4 求图3-12所示电路中的节点电压。

解： V1/2+(V1-V4)/3+(V2-V3)/6=10

$$(\mathrm{V}2-\mathrm{V}3)/6+(\mathrm{V}1-\mathrm{V}4)/3=\mathrm{V}3/4+\mathrm{V}4/1$$ $$V1-V2=20$$ $$\mathrm{V}3-\mathrm{V}4=3(\mathrm{V}1-\mathrm{V}4)$$

a）对两个超节点应用KCL

b）对回路应用KVL

解：

上课讨论。。。。

把两个电压源和 6Ω 电阻看成超节点，得到第一个式子

用克莱姆法则求解。

$$\mathrm{回路}2:-V_2-5i+V_3=0\Rightarrow 0.5V_1+2V_2-2V_3=0$$ $$\Rightarrow \left[\begin{array}{lll}6& 3& 4\\ 0& -1& 0\\ 5& 2& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0\\ 25\\ 0\end{array}\right]$$ $$\Delta =12+0+8+20+0+6=46$$ $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{lll}0& 3& 4\\ 25& -1& 0\\ 0& 2& -2\end{array}\right|=0+0+200+0+0+150=350$$ $${\Delta }_2=\left|\begin{array}{lll}6& 0& 4\\ 1& 25& 0\\ 5& 0& -2\end{array}\right|=-300+0+0-500+0+0=-800$$ $${\Delta }_3=\left|\begin{array}{lll}6& 3& 0\\ 1& -1& 25\\ 5& 2& 0\end{array}\right|=0+375+0+0-300+0=75$$ $$V_1=\frac{350}{46}=7.608V$$ $$V_2=\frac{-800}{46}=-17.39V$$ $$V_3=\frac{75}{46}=1.630V.$$

3.4 网孔分析法

列回路电压方程，求网孔电流（支路电流）

（本节讨论不带电流源，只含电压源的情况）

网孔

网孔是指不包含其他任何回路的一条回路。

相邻网孔之间的支路电流 $=$ 相邻网孔的网孔电流的代数和

$$I=\sum i$$

确定网孔电流的步骤 :

1. 定义各个网孔的网孔电流

$$i_1,i_2,\dots ,i_n$$

2. 应用基尔霍夫电压定律 于 n 个网孔。用欧姆定律以网孔电流来表示各个电压。

3 求解 n 个联立方程得到网孔电流 . 。

通常假定每个网孔电流都是顺时针流动的，左下角起始。

表示网孔电流，用 I 表示支路电流。

网孔 1,

$$-V_1+R_1{i}_1+R_3(i_1-i_2)=0$$

网孔 2 ,

$$R_3\left(i_2-i_1\right)+R_2{i}_2+V_2=0$$

2 个方程， 2 个未知数（ ），可解！ 1 2i , i $i_1,i_2$

举例 例 3-5 （堂练）

（标签 $\cdot$ 原始方程！）

如下图 , 用网孔分析法求支路电流

$$I_1,I_{\text{和}}{I}_3$$

解决方案 :

网孔 1,

$$-15+5i_1+10\left(i_1-i_2\right)+10=0$$

网孔 2,

$$-10+10\left(i_2-i_1\right)+6i_2+4i_2=0$$

解得：

$$i_2=1\mathrm{A}{i}_1=1\mathrm{A}$$ $$I_1=i_1=1\mathrm{A},I_2=i_2=1\mathrm{A},I_3=i_1-i_2=0$$

练习3-5计算图3-19所示电路中的网孔电流 $i_1$ $i_2$

解：

$$20\mathrm{i}1-10\mathrm{i}2=90$$

$$-10\mathrm{i}1+30\mathrm{i}2=-40$$

答案： $i_1=4.6\mathrm{A},i_2=200\mathrm{m}i$ A

例 3-6 ： ( 堂练 )

用网孔分析法求图中的电流 i

解决方案 $=24+10(i_1-i_2)+12(i_1-i_3)=0$

网孔 1, $10\left(i_2-i_1\right)+24i_2+4\left(i_2-i_3\right)=0$

网孔 3, $12(i_3-i_1)+4(i_3-i_2)+4i_0=0$

网孔 2,

$${\mathbf{i}}_1={\mathbf{i}}_2+{\mathbf{i}}_0$$

节点 A,

解得： i1 2.25A, i2 0.75A, i3 1.5A

$$i_0=i_1-i_2=1.5\mathrm{A}$$ $$-24+10\left(i_1-i_2\right)+12\left(i_1-i_3\right)=0$$

即

$$11i_1-5i_2-6i_3=12$$ $$24i_2+4(i_2-i_3)+10(i_2-i_1)=0$$

即

$$-5i_1+19i_2-2i_3=0$$ $$4I_{\mathrm{o}}+12\left(i_3-i_1\right)+4\left(i_3-i_2\right)=0$$

但是在节点 $\mathrm{A}$ 处有 $I_{\mathrm{o}}=i_1-i_2$

$$4\left(i_1-i_2\right)+12\left(i_3-i_1\right)+4\left(i_3-i_2\right)=0$$

即

$$-i_1-i_2+2i_3=0$$ $$\left[\begin{array}{rrr}11& -5& -6\\ -5& 19& -2\\ -1& -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{i}_1\\ i_2\\ i_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}12\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

利用克莱姆法则计算的各网孔电流为：

$$i_1=\frac{{\Delta }_1}{\Delta }=\frac{432}{192}=2.25(\mathrm{A}),i_2=\frac{{\Delta }_2}{\Delta }=\frac{144}{192}=0.75(\mathrm{A}),i_3=\frac{{\Delta }_3}{\Delta }=\frac{288}{192}=1.5(\mathrm{A})$$

$I_{\mathrm{o}}=i_1-i_2=1.$

练习3-6利用网孔分析法计算图3-21所示电路中的I。。

解： 6x i1-2x i2-4xi3=16 (1)

$$-2\mathrm{xi}1+10\mathrm{xi}2-8\mathrm{xi}3=10\mathrm{xi}3$$ $$\left|\begin{array}{ccc}6& -2& -4\\ -2& 10& 18\\ -4& -8& 18\end{array}\right|\left[\begin{array}{l}i1\\ i2\\ i3\end{array}\right]+\overline{1}8xi3=\left|\begin{array}{ccc}16& -2& -4\\ 0& 10& 18\\ 0& -8& 18\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}6& 16& -4\\ -2& 0& -18\\ -4& 0& 18\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}6& -2& 16\\ -2& 10& 0\\ -4& -8& 0\end{array}\right|$$

$$\Delta =60\times 18-64-8\times 18-160-4\times 18-48\times 18=-224$$ $$\Delta 1=160\times 18+0+0-0-0-16\times 8\times 18=2\times 18=36$$ $$\Delta 2=0+0+4\times 16\times 18-0+2\times 16\times 18-0=6\times 16\times 18=1728$$ $$\Delta 3=0+2\times 8\times 16+0+40\times 16-0-0=896$$

3.5 含电流源的网孔分析法

（堂练）

①

$$-20+6i_1+2\left(i_1-i_2\right)+v_x=0$$

$\stackrel{◯}{2}$

$$-v_x+2\left(i_2-i_1\right)+10i_2+4i_2=0$$

③

$$i_2-i_1=6$$

（ 1 ）和（ 2 ）相加合并得：

$$-20+6\mathrm{i}1+14\mathrm{i}2=0,$$

超网孔。和（ 3 ）式一起可以求得解。

举例（例 3-7 ） ( 堂练 )

如图 , 用网孔分析法求 i1 、 i2 、 i3 、 i4.

解：

假设 5A 和 3i0 这两个电流源的电压分别为 V1 和 V2

①

网孔 1 ：②

$$2i1+V1=0$$

③

网孔 2 ：

④

$$6i2-V1-V2=0$$

而 i0 = -i4⑤

电流源支路 :

⑥5A=i2-i1

⑦3i0 =i2 - i3

网孔 3 ：

练习3-7利用网孔分析法求图3-25所示电路

解：超级网孔 ${}_{1+2}$ ：

5 （ i1-i3 ） +10 （ i2-i3)+20i2=24

$$5\mathrm{xi}1+30\mathrm{xi}2-15\mathrm{xi}3=24(1)$$

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\beta }\downarrow \overrightarrow{\partial }\downarrow -3{:}_{30}5(\mathsf{i}3-\mathsf{i}\overrightarrow{\mathtt{k}}\overrightarrow{\mathtt{k}})+\overleftarrow{\beta }\times \mathsf{i}\overrightarrow{\partial }+1\ominus \overrightarrow{\beta }\overrightarrow{4}\mathsf{i}\exists -\mathsf{i}\underline{2}\overline{♯}\overline{\exists }& 30-15\\ -5-10-10& 20\\ -5\times \mathsf{ii}-10\overrightarrow{\times }\mathsf{i}\underline{2}+20\mathsf{i}\mathfrak{B}=0& i3\end{array}$

$$\Delta =-75+600-150+100=475$$ $$\Delta 1=2400-600+480=2280$$ $$\left[\begin{array}{ccc}5& 24& -15\\ -5& 0& 20\\ 1& 4& 0\end{array}\right]$$ $$\left[\begin{array}{ccc}5& 30& 24\\ -5& -10& 0\\ 1& -1& 4\end{array}\right]$$ $$i{1}_{i1=\Delta 1/\Delta =2280/475=4.8(A)}^{-i2+0i3=4}$$ $$i2=\Delta 2/\Delta =380/475=0.8(A)$$ $$\Delta 2=300+480-400=380$$ $$\Delta 3=-200+120+240+600=760$$ $$i3=\Delta 3/\Delta =760/475=1.6(A)$$

书上的答案：

答案： $i_1=12.379\mathrm{A},i_2=378.9\mathrm{mA},i_3=3.284\mathrm{A}$

练习3-7利用网孔分析法求图3-25所示电路

解：超级网孔 ( 最外围）：

$$0\mathrm{xi}1+20\mathrm{xi}2+5\mathrm{xi}3=24(1)$$

网孔 3 ： 5(i3-i1)+5xi3+10x(i3-i2)=0

$$-5\times \left[\begin{array}{ccc}0& 20& 5\\ 1& -1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}i1\\ i2\\ i3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}24\\ 0\\ 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}24& 20& 5\\ 0& -10& 20\\ 4& -1& 0\end{array}\right]$$

i1-i2+0i3=4 (3) ∆=25+400+50=475

$$\Delta 1=1600+200+480=2280$$ $$\left[\begin{array}{ccc}0& 24& 5\\ -5& 0& 20\\ 1& 4& 0\end{array}\right]$$ $$\left[\begin{array}{ccc}0& 20& 24\\ -5& -10& 0\\ 1& -1& 4\end{array}\right]$$ $$\Delta 2=-100+480=380$$ $$\Delta 3=120+240+400=760$$ $$i1=\Delta 1/\Delta =2280/475=4.8(A)$$ $$i2=\Delta 2/\Delta =380/475=0.8(A)$$ $$i3=\Delta 3/\Delta =760/475=1.6(A)$$

书上的答案：

答案： ${\ddot{i}}_1=12.379\mathrm{A},i_2=378.9\mathrm{mA},i_3=3.28$

3.7 节点分析与网孔分析比较

两种方法可以混用。

也可选择方程个数较少的方法 :

如：含有多个串联元件的网络选用网孔法；而具有多个并联元件的网络选用节点法。

或：对于节点数小于网孔数的电路，采用节点法；对于网孔数小于节点数的电路，采用网孔法。

3.9 应用 : 直流晶体管电路

双极型晶体管 (BJTs) 分为两种类型：

(a) npn, (b) pnp

每种器件都有 3 个极，分别命名为

发射极 (E) 、基极 (B) 和集电极 (C)

Base

Emitter

B

Base

Emitter

B

晶体管的终端变量 :

(a) 电流 , (b) 电压 .

图 (a) 应用基尔霍夫电流定律得 :

$$I_E=I_B+I_C$$

图 (b) 应用基尔霍夫电压定律得 :

$$V_{CE}+V_{EB}+V_{BC}=0$$

通常 , $VBE\approx 0.7\mathrm{V}$ ( 硅管 ), 0.3V( 锗管）

$$I_C=\alpha I_E{I}_C=\beta I_B$$

$\alpha$ 被称为共基极电流增益 , $\beta$ 被称为共发射极电流增益。通常 , $\alpha$ 值在 0.98 到 0.999 范围，而 $\beta$ 值在 50 到 1000 范围。

$$I_E=(1+\beta )I_B\approx \beta I_{\mathrm{B}}$$

(a) npn 晶体管

(b) 等效电路

实例 1 ：

求晶体管电路中的 IB , IC, 和 v0 。 假设晶体管在放大模式（一般工作模式）， $\beta =50$ 。

。。。

解决方案 :

对于输入回路 ,

$$-4+IB(20\times 10^{①})+VBE=0$$

放大模式时， VBE=0.7V ：

$$I_B=\frac{4-0.7}{20\times 10^3}=\underline{165\mu A}$$

且

$$I_C=\beta I_B=50\times 165\mu \mathrm{A}=8.25\mathrm{mA}$$

对于输出回路 ,

③

$$-v_0-100I_C+6=0$$ $$-v_0-100I_C=6-0.825=5.175\mathrm{V}$$

即

注意 $v0=VCE=-5.175\mathbf{V}$ ，而

$$VBE=0.7V$$

实例 2 ：

如图中所示双极型晶体管电路 , $\beta =150$ 、 VBE=0.7V 。 求 v0 。

解决方案 :

我们可以用两种方法来解决这个问题：

方法 1 是直接分析上图中的电路；

支路电流法

方法 1

对于回路 1,

① $2=100\times 10^3{I}_1+200\times 10^3{I}_2$ (3.13.1)

对于回路 2, $V_{{}_{BE}}=0.7=200^{{}^{\prime }}10^3{I}_{{}_2}$ Þ $I_2=3.5\mathsf{mA}$ (3.13.2)②

对于回路 3 ，

$\overline{\mathbf{\Omega }}{V}_0{}^{}-1000I_c{}^{}+16=0$③

$$v_0=16-1000I_C$$

从公式 3.13.1) 和 (3.13.2), 得：13 A, 2 0.71 3   I  9.5 A 1  2  I I I B1 100 10 

$$I_C=\beta I_B=150\times 9.5\mu \mathrm{A}=1.425\mathrm{mA}$$

将 IC 代入公式（ 3.13.3),v0 16  1.425 14.575V

方法 2 ： 我们可以用晶体管的等效模型，替换原电路。

①输出回路： 0 1000( 150 ) 16 0 B- + - + = v I

输入端： ② $I_{{}_B}=I_1-I_2=\frac{2-0.7}{100\times 10^3}-\frac{0.7}{200\times 10^3}=(13-3.5$ ) A 9.5 A  

$$v_0=16-1000(150\times 9.5\times 10^{-6})=14.575\mathrm{V}$$

因此

3.10 总结

节点分析法是基尔霍夫电流定律（ KCL ）在非参考节点上的应用。 ( 适用于平面电路和非平面电路。）我们用节点电压来表示结果。

网孔分析法是基尔霍夫电压定律（ KVL ）在平面电路中的应用。我们用网孔电流来表示结果。解联立方程得到网孔电流。

分析电路时，可以同时使用节点分析法和网孔分析法（拓扑约束），需要时补充元件约束（ VCR ）方程。 54 54

复习题

$1$ $\mathrm{KCl},$

$(\mathrm{d})2+\frac{v_1-12}{3}=\frac{0-v_1}{6}+\frac{v_2-v_1}{4}$

${}_v$

9PSpice软件中，电流控制电压源的名称为：

10以下关于伪元件IPROBE的叙述中哪些是不正确的？

（a）它必须是串联连接

（b）它绘制出支路电流的波形

（c）它显示其所连接支路的电流

（d）并联连接后，可显示电压

（e）它只用于直流分析

（f）它并不应用于某个具体电路元件

本章重点及难点

注意到任何元器件（包括电压源和电流源）都有加在其两端的电压及流过它的电流。

初学者不建议搞太多模型，一个通用模型，便可助你玩转所有电路！

大道至简， 大巧若拙！

本章作业

 画出本章思维导图

3.3

 3.10

 3.30

 3.41

 3.62

注：以上各题节点法与网孔法可随意结合使用。